Принцип виртуальных перемещений Бернулли

«Пример 4.1. Шесть однородных одинаковых стержней длиной l и массой m шарнирно связаны своими концами и образуют шестиугольник, показанный на рисунке 27. Нижняя сторона этого шестиугольника закреплена неподвижно. Какую силу F следует приложить к средине верхнего стержня, чтобы система находилась в равновесии.

Рис. 27

Решение.

Решение этой задачи применением к каждому стержню условий равновесия абсолютно твердого тела было бы слишком громоздким, поскольку пришлось бы рассматривать силы реакции, действующие на каждый стержень, и решать систему многих уравнений. Но находить реакции в данной задаче не требуется. Принцип виртуальных перемещений Бернулли как раз и позволяет избежать рассмотрение реакций. Нужно лишь приравнять нулю сумму работ активных сил на произвольных виртуальных перемещениях точек приложения сил: A, B, B₁, C, C₁. Получим уравнение

( + m ) d _A + 2 m d _B+ 2 m d _C = 0. (4.1)

Поскольку все силы направлены вдоль оси 0x (рис. 27), скалярные произведения, входящие в уравнение (4.1), целесообразно выразить через проекции виртуальных перемещений на эту ось:

dx_A = d (2 l sin a) = 2 l cos a da, (4.2)

dx_B = d (l sin a + (l / 2) sin a) = (3 / 2) l cos a da, (4.3)

dx_C = d ((l / 2) sin a) = (l / 2) cos a da. (4.4)

Умножая (4.2) – (4.4) на соответствующие проекции активных сил и подставляя эти произведения в (4.1), получим

(F – m g) 2 l cos a da – 3 m g l cos a da – m g l cos a da = 0. (4.5)

Рис. 28

Равенство (4.5) должно быть обеспечено при произвольных значениях da. Для этого достаточно, чтобы F – m g (1 + (3 / 2) + (1 / 2)) = 0. Следовательно, F = 3 m g.

«Пример 4.2. Балка длиной 2 l и массой m закреплена шарнирно в точке A и опирается в точке C на каток (рис. 28). Каток удален от шарнира на расстояние AC = b. К балке приложены вертикальные силы и . Точка приложения силы отстоит от A на расстояние a, а сила приложена к концу балки (рис. 28). Определить опорные реакции R_A и R_C.

Решение.

Принцип виртуальных перемещений Бернулли, позволяющий исключить рассмотрение реакций, можно использовать и для их нахождения, если применить метод освобождаемости от связей. Суть метода заключается в том, что вместо той или иной связи рассматривают силы реакции, которые ее обеспечивают. Вводимые таким образом силы реакции считают активными силами, рассчитывая их с помощью принципа виртуальных перемещений Бернулли.

Чтобы найти R_A, мысленно освобождаем балку от шарнира A. В результате она приобретает возможность поворачиваться вокруг точки C. Запишем принцип виртуальных перемещений Бернулли, рассматривая поворот балки вокруг точки C на произвольный малый угол dj:

(R_A b – F (b – a) – m g (b – l) + Q (2 l – b)) dj = 0. (4.6)

Это равенство должно быть обеспечено для произвольных величин dj, в том числе и для dj ¹ 0. Так что в (4.6) скобка перед множителем dj должна быть равна нулю. Отсюда получаем

R_A = (F (b – a) + m g (b – l) – Q (2 l – b)) / b.

Для нахождения R_C освобождаем мысленно балку от опоры в точке C и применяем принцип виртуальных перемещений Бернулли. Виртуальные перемещения обусловлены поворотом балки вокруг точки A на произвольный малый угол da:

Q 2 l da – R_C b da + m g l da + F a da = 0.

Рис. 29

Отсюда следует: R_C = (F a + m g l + 2 Q l) / b.