Кинематика твердого тела

«Пример 2.1. Кривошип OA механизма, показанного на рисунке 10, вращается с угловой скоростью w₀. Определить скорость v_c точки C, а также угловую скорость w_BD звена BD в том положении механизма, в котором звено BC занимает вертикальное положение. Длины звеньев и изображенные на рис. 10 углы заданы: OA = AB = a; BD = a ; a = 30⁰; b = 60⁰.

Решение.

К рассматриваемому механизму можно применять известные соотношения, описывающие плоское движение абсолютно твердого тела.

Рис. 10

Наметим вначале план решения. Для нахождения скорости нужно определить скорость точки B, которая зависит от скорости точки A, принадлежащей кривошипу OA. Движение последнего задано. Поэтому, переходя последовательно от описания движения звена OA к анализу движения звеньев AB и BC, достигнем цели.

По формуле Эйлера

v_A = w₀ a (2.1)

причем вектор перпендикулярен OA. Направление движения еще одной точки звена AB также известно: скорость перпендикулярна BD. Это позволяет найти мгновенную ось P вращения звена AB (рис. 10). Применяя формулу Эйлера для вращения звена AB вокруг мгновенной оси P с угловой скоростью w_AB, получим

v_A = w_AB · AP. (2.2)

Нетрудно показать, что при заданной в задаче конфигурации механизма
AP = a / 2. C этим значением из (2.2) и (2.1) получим w_AB = 2 w₀. Скорость точки B по той же формуле Эйлера равна

v_B = w_AB BP = 2 w₀· a / 2 = w₀ a .

Точка В принадлежит звену BD, угловую скорость которого также требуется найти в задаче. Применяя к этому звену формулу Эйлера, получим один из ответов:

w_BD = v_B / BD = w₀ a / (a ) = w₀.

Осталось связать скорости _B и . Для этого можно воспользоваться теоремой о равенстве проекций скоростей точек абсолютно твердого тела на прямую, их соединяющую:

v_C = v_B cos (90⁰ – b) = 3 w₀ a / 2.

«Пример 2.2. Катушка радиусом R катится без скольжения по горизонтальной плоскости под действием груза массой M, привязанного к нити, намотанной на барабан катушки (рис. 11). Радиус барабана – r. Груз имеет в данный момент времени скорость v и ускорение w. Определить ускорения w₀, w_B, w_D и w_C точек, отмеченных на рисунке 11.

Рис. 11

Решение.

Катушка совершает плоскопараллельное движение, вращаясь вокруг мгновенной оси C (рис. 11). Если нить нерастяжима и не проскальзывает, то скорость v_D и тангенциальное ускорение w_Dt точки D катушки равны, соответственно, v и w.

Проще всего определить ускорение точки O, поскольку эта точка движется прямолинейно, то есть ее скорость ­­ (рис. 11). Ускорения остальных точек катушки могут быть выражены через соотношением, аналогичным теореме Шаля. Для точки B имеем:

= + , (2.3)

где ускорение точки В относительно точки O равно сумме нормального и тангенциального ускорений:

= + . (2.4)

Соответствующий формулам (2.3) и (2.4) векторный многоугольник изображен на рисунке 12. Величины w_Bn и w_Bt можно выразить через угловую скорость w и угловое ускорение b барабана:

w_Bn = w² R; w_Bt = b R. (2.5)

Рис. 12

Угловая скорость находится из формулы Эйлера, примененной к вращению точки D вокруг C:

w = v / (R – r). 2.6)

Та же формула, примененная к вращению точки O вокруг C, дает:

v₀ = w R Þ w₀ = = b R = w_Bt. (2.7)

С другой стороны, v₀ = v R / (R – r). Следовательно,

w₀ = = = w. (2.8)

С учетом (2.5) – (2.8) получим из рисунка 12:

w_B² = w_Bn² + (w_Bt + w₀)² = w_Bn² + 4 w₀² Þ

w_B = .

Рис. 13

Для точки D соотношения, аналогичные (2.3) и (2.4), приводят к рисунку 13. Здесь

w_Dn = w² r = , (2.9)

w_Dt = r = w, (2.10)

w₀ – w_Dt = w. (2.11)

Последнее соотношение следует из (2.8) и (2.10). С найденными значениями получим из рисунка 13:

w_D² = w_Dn² + (w₀ – w_Dt)² Þ w_D = .

Ускорение w_C найдите самостоятельно. Должно получиться

w_C = v² R / (R – r)².

«Пример 2.3. Определить ускорение w_B поршня B и угловое ускорение b_AB шатуна AB в положении кривошипно-шатунного механизма, изображенного на рисунке 14. Длина кривошипа OA равна r, шатуна AB – l. В указанном положении угловая скорость вращения кривошипа OA равна w, а его угловое ускорение – b.

Решение.

Искомое ускорение следует связать с ускорением точки А, поскольку она принадлежит кривошипу ОА, движение которого известно:

= + Þ

Рис. 14

= + + + . (2.12)

Направления ускорений показаны на рисунке 15. Для определенности выбрано b = > 0. Этому соответствует указанное на рисунке 15 направление . Тангенциальное ускорение , возможно, имеет и противоположное направление. Куда именно направлено , будет выяснено в процессе решения.

Найдем модули ускорений:

w_An = w² r; w_At = b r; (2.13)

w_Bn = w_AB² l; (2.14)

Рис.15

w_Bt = b_AB l. (2.15)

Для нахождения w_AB воспользуемся теоремой Шаля:

= + . (2.16)

Так как ½½ , а имеет иное направление, то равенство (2.16) возможно только при = 0, то есть шатун AB в рассматриваемый момент движется поступательно. Следовательно, w_AB = 0 и, в соответствии с (2.14), w_Bn = 0.

Направление искомого вектора задается стенками цилиндра с поршнем, поэтому целесообразно записать уравнение (2.12) в проекциях на оси x и y (рис. 15). При этом учтем (2.13) – (2.15):

w_Bx = w² r – (±b_AB l cos a) = 0; (2.17)

w_By = b r – (±b_AB l sin a). (2.18)

Верхний знак в этих формулах соответствует показанному на рисунке 15 направлению , нижний – противоположному. Чтобы обеспечить равенство (2.17), следует оставить лишь верхний знак, то есть ускорение направлено именно так, как указано на рисунке 15.

Подставляя в (2.17) и (2.18) cos a = и sin a = , получим ответы:

b_AB = ; w_By = r (b – ).

Если b > , то w_By = w_B > 0, то есть направлено к
точке O. При меньших b, в том числе и при b < 0, направлено в противоположную сторону.