Функционал и его вариация. Уравнение Эйлера

& Литература: [1] (§ 24.3), [3] (§ 31), [7] (Приложение III).

F Разъяснения и дополнения

l Имеется несколько отличающихся по форме, но эквивалентных систем динамических уравнений, описывающих эволюцию механических систем.

Законы Ньютона, уравнения Лагранжа и Гамильтона устанавливают соотношения, справедливые для действительно реализуемого движения системы в произвольный момент времени.

Уравнения Даламбера – Лагранжа выражают дифференциальный вариационный принцип. В этих уравнениях фигурируют соотношения для виртуальных перемещений, то есть таких малых перемещений, которые в рассматриваемый момент можно себе вообразить и которые не нарушают связей.

Имеются и интегральные вариационные принципы, в которых анализируются величины, относящиеся к воображаемым движениям в течение большого промежутка времени. Из этих возможных движений отбирается по определенному критерию то, которое на самом деле происходит – истинное движение. Математическим аппаратом интегральных вариационных принципов является вариационное исчисление.

На рисунке 22 изображены несколько функций q(t), имеющих одинаковые значения на концах промежутка [t₁, t₂]. Вертикальные отрезки иллюстрируют вариации функций dq = dq(t).

 

 

Величина

S = = S [q(t)], (22.1)

где L – некоторая интегрируемая функция, представляет собой функционал, заданный на рассматриваемом классе функций.

C Некоторые важные положения

« Основные понятия вариационного исчисления аналогичны соответствующим понятиям математического анализа.

Функция каждому элементу некоторого множества чисел ставит в соответствие число. Функционал же определенное число ставит в соответствие каждой функции какого-то класса.

« Вариация функционала S [q₁(t), q₂(t),..., q_j(t),...] определяется соотношением

dS = dq_j. (22.3)

« Функция q₀(t), для которой функционал S [q(t)] принимает экстремальное значение, называется экстремалью функционала.

« Для достижения экстремального значения функционала
S [q_j(t)] необходимо, чтобы его вариация (22.3) обращалась в нуль при произвольных вариациях dq_j.

« Л. Эйлер решил задачу об экстремали функционала

S [q(t)] = , (22.4)

где под знаком интеграла – произвольная интегрируемая функция, а вариации функций q(t) на границах интегрирования равны нулю.

« Вариация функционала (22.4) может быть представлена в виде:

t1

t2

dS = dq + dt dq. (22.5)

« Уравнение Эйлера

– = 0 (22.6)

с граничными условиями q(t₁) = q₁ и q(t₂) = q₂ определяет экстремаль функционала (22.4) на классе функций q(t) с фиксированными значениями на концах промежутка [t₁, t₂] (рис. 22).

« Примером применения уравнения Эйлера может служить задача о брахистохроне.

« В общем случае, когда функционал зависит от нескольких (s) функций, в записанных выше выражениях функции q(t) нужно заменить множеством функций {q_j(t)} и вставить в необходимых случаях знак суммирования. При этом (22.6) заменяется системой уравнений Эйлера:

– = 0, (22.7)

где j = 1, 2,..., s.

? Задания и контрольные вопросы

1. Расскажите о дифференциальных вариационных принципах механики и об идее интегральных вариационных принципов.

2. Расскажите о функции и функционале.

3. Расскажите о дифференциале аргумента и о вариации функции.

4. Расскажите о нахождении экстремума функции и функционала.

5*. Докажите, что последовательные операции варьирования и дифференцирования функций можно менять местами.

6*. Выведите формулу (22.5).

7*. Выведите уравнение Эйлера.

8. Расскажите об уравнении Эйлера.

9*. Расскажите о брахистохроне.

§23. Принцип наименьшего действия.
Уравнения Гамильтона – Якоби

& Литература: [1] (§ 24.1), [3] (§§ 32, 36, 37), [7] (§§ 7, 32).

F Разъяснения и дополнения

l Уравнения (22.7) совпадают с уравнениями Лагранжа (8.6), если q_j – обобщенные координаты, L – функция Лагранжа и Q_j’ = 0. Уравнениям Лагранжа удовлетворяют истинные уравнения движения q_j = q_j(t) системы. Уравнениям Эйлера – экстремали функционала (22.4) с заменой q на q_j. Эти обстоятельства и позволяют сформулировать принцип наименьшего действия.

l Принцип наименьшего действия Остроградского – Гамильтона заключается в том, что среди всех возможных уравнений движения из одного положения в другое за данное время действительному движению соответствуют уравнения, которые обеспечивают минимальное значение функционала действия.

l Принцип наименьшего действия допускает наибольшее среди других принципов механики обобщение. Он широко используется в различных разделах теоретической физики.

l Функционал действия определяется формулой

S [q_j(t)] = , (23.1)

где L [q_j, _j, t] – функция Лагранжа.

l Помимо функционала действия в физике рассматривают и функцию действия:

S [q_j, t] = . (23.2)

Это выражение отличается от (23.1) тем, что интегрирование производится по уравнениям истинного движения между фиксированной точкой q_j(t₁) конфигурационного пространства и произвольно задаваемой точкой q_j(t).

Для наглядного сопоставления функции действия и функционала действия можно воспользоваться рисунками 22 и 23. При нахождении функционала интеграл вычисляется по любым функциям, отображаемым на рисунке 22 кривыми, проходящими через точки 1 и 2. При нахождении же функции S = S (q, t) интеграл вычисляется по кривым, соответствующим истинным движениям. Именно такие кривые подразумеваются на рисунке 23. Кривые 1–2 и 1–3 дают значения S(q, t), различающиеся переменной q, а кривые 1–3 и 1–4 дают значения S(q, t), различающееся переменной t.

Из (23.2) видно, что функция Лагранжа представляет собой полную производную по времени от функции действия:

L = . (23.3)

l Связь функции действия с обобщенными импульсами следует из (22.5) (точнее говоря, из обобщения этого соотношения для многих функций q_j(t)): dS = , или

= p_j = . (23.4)

l В квантовой физике выясняется, что функция действия не может изменяться на величины, меньшие постоянной Планка h. Поэтому универсальную постоянную величину h и называют квантом действия. Классическая механика рассматривает явления, для которых изменение функции действия DS >> h.

C Некоторые важные положения

« Из принципа наименьшего действия могут быть получены все остальные формы динамических уравнений, например, уравнения Гамильтона.

« В качестве основного уравнения динамики можно использовать уравнение Гамильтона - Якоби:

= – H (q_j, , t). (23.5)

Оно представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных для функции S = S (q_j, t). Найдя общее решение уравнения (23.5), получают из него и кинематические уравнения движения q_j = q_j(t).

« Для частицы массой m, движущейся в потенциальном поле U(), уравнение Гамильтона – Якоби выглядит так:

+ ( S)² + U. (23.6)

К такому же виду сводится квантово-механическое уравнение Шрединге-ра, если постоянную Планка можно считать достаточно малой (h << DS). Это означает, что классическая механика является предельным частным случаем квантовой механики.

 

? Задания и контрольные вопросы

1. Расскажите о принципе наименьшего действия и связи его с уравнениями Эйлера.

2. Расскажите о функции действия и функционале действия.

3. Объясните происхождение формулы (23.3)

4*. Выведите формулу (23.4).

5*. Выведите уравнение Гамильтона – Якоби (23.5).

6*. Выведите соотношение (23.6).

7. Расскажите о связи квантовой механики и классической физики.

VII. ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА

§24. Кинематика частицы
в произвольно движущейся системе отсчета

& Литература: [3] (§ 5).

F Разъяснения и дополнения

l На рисунке 24 показаны: радиус-вектор частицы А относительно системы отсчета K; радиус-вектор той же частицы относительно системы K’, движущейся произвольным образом относительно K; величина ₀, определяющая положение начала О’ системы K’; ₁, ₂, ₃ – единичные орты и x₁, x₂, x₃ – координатные оси системы отсчета K’.

В этих обозначениях имеем:

= ₀ + ; (24.1)

= x_a; a = 1, 2, 3. (24.2)

l Относительная скорость

_ОТН = . (24.3)

l Относительное ускорение

_ОТН = . (24.4)

По аналогии с формулой Эйлера для вращательного движения твердого тела ( = [ ]) можно записать:

= [ _a], (24.5)

где – угловая скорость вращения системы K’ относительно K.

C Некоторые важные положения

« Абсолютная скорость, то есть скорость _АБC = , связана с относительной скоростью _ОТН законом сложения скоростей:

_АБС = _ОТН + _ПЕР, (24.6)

где переносная скорость _ПЕР вычисляется так:

_ПЕР = + [ ]. (24.7)

« Абсолютное ускорение, _АБC = , находится по теореме Кориолиса:

_АБC = _ОТН + _ПЕР + _КОР. (24.8)

Здесь _ПЕР = + [ ] + [ [ ]] (24.9)

– переносное ускорение, а

_КОР = 2 [ _ОТН] (24.10)

– кориолисово ускорение.

? Задания и контрольные вопросы

1. Приведите примеры ситуаций, в которых целесообразно анализировать движение относительно произвольно движущейся системы отсчета.

2. Выведите закон сложения скоростей (24.6). При дифференцировании (24.2) учтите, что орты _a зависят от времени (поворачиваются).

3. Сформулируйте закон сложения скоростей и объясните смысл входящих в него величин.

4*. Докажите теорему Кориолиса.

5. Сформулируйте теорему Кориолиса и объясните смысл входящих в нее величин.

6. Объясните смысл каждого из входящих в выражение (24.9) слагаемых.

7. Приведите примеры движений с кориолисовым ускорением.

§25. Динамика частицы
в неинерциальной системе отсчета. Теорема Лармора

& Литература: [2] (§§ 63, 64, 71).

C Некоторые важные положения

« Ускорение частицы массой m в произвольным образом движущейся системе отсчета определяется уравнением:

m = + _ПЕР + _КОР, (25.1)

где – сумма сил, приложенных к частице со стороны других тел. Эти силы называют силами Ньютона, а величины _ПЕР = – m _ПЕР и

_КОР = – m _КОР = 2 m [ _ОТН ] – (25.2)

переносной и кориолисовойсилами инерции. _ПЕР – переносное ускорение (см. (24.9)), _ОТН – относительная скорость частицы, – угловая скорость системы отсчета.

« Силы инерции называют эйлеровыми силами. Они обусловлены не действием каких-то тел, а неинерциальностью системы отсчета.

« Согласно принципу эквивалентности однородное поле силы тяжести эквивалентно полю сил инерции, которые обусловлены тем, что система отсчета поступательно движется с постоянным ускорением.

« Теорема Лармора утверждает следующее: частица, обладающая зарядом q, массой m и совершающая финитное движение в центральном поле, при появлении достаточно малого магнитного поля, индукция которого , приобретает дополнительное вращение с частотой

_Л = – . (25.3)

Это дополнительное вращение называют ларморовой прецессией, а величину _Л – ларморовой частотой.

F Разъяснения и дополнения

l Говоря о силах Эйлера или Ньютона, в термин «сила» вкладывают более широкий смысл по сравнению с аксиоматическим определением, содержащимся в законах Ньютона.

l В более общем смысле слова сила – векторная величина, определяющая ускорение (точнее говоря, изменение импульса) частицы в соответствии с уравнением движения. При таком подходе и , и с полным правом можно называть силами. Оставаясь же в рамках школьного определения, силы Эйлера силами не являются.

Фигурирующие в принципе Даламбера силы называют силами Даламбера. Если перейти в систему отсчета, покоящуюся относительно рассматриваемой частицы, то силы Даламбера становятся силами Эйлера. Поэтому обычно рассматривают всего два вида сил – силы Ньютона и силы инерции (эйлеровы силы).

l Теорема Лармора используется, например, при объяснении диамагнетизма. Ее доказательство может служить хорошей иллюстрацией применения уравнения (25.1).

На рисунке 25 показана частица, о которой говорится в теореме Лармора. Эта частица (например, электрон в атоме) движется со скоростью в лабораторной системе отсчета по замкнутой траектории вокруг центра О. – перпендикулярный к плоскости орбиты момент импульса. Уравнение движения в лабораторной системе отсчета имеет простой вид:

m = , (25.4)

где – центральная сила.

Уравнение усложняется, если имеется постоянное магнитное поле с индукцией : к силе добавляется сила Лоренца q [ ]. Однако можно снова получить уравнение простого вида (25.4), если перейти в систему отсчета, вращающуюся с определенной угловой скоростью .

Запишем уравнение движения во вращающейся системе отсчета:

m _ОТН = + q [ ] + 2 m [ ] – m [ [ ]]. (25.5)

Здесь _ОТН – ускорение частицы относительно этой системы, – радиус-вектор частицы. Второе слагаемое в правой части равенства – сила Лоренца, третье – сила Кориолиса, четвертое – центробежная сила инерции.

Пусть ½[ ]½ << ½ ½. (25.6)

Тогда можно пренебречь центробежной силой. Если к тому же

q [ ] + 2 m [ ] = 0, (25.7)

то уравнение (25.5) примет вид (25.4) с = _ОТН. Это означает, что в рассматриваемой системе отсчета частица движется так, как она двигалась бы в отсутствие магнитного поля. Влияние магнитного поля сводится к дополнительному вращению вместе с рассматриваемой системой отсчета.

На рисунке 25 показана траектория конца вектора , неизменного во вращающейся системе отсчета (центральное поле). Вместе с системой отсчета вращается и перпендикулярная к вектору орбита частицы.

Соотношение (25.7) эквивалентно (25.3) при = _Л. Рассмотренное вращение, обусловленное магнитным полем, и есть ларморова прецессия. Она аналогична прецессии волчка в поле тяжести. Теорема Лармора доказана.

Неравенство (25.6) вскрывает смысл содержащегося в формулировке теоремы Лармора ограничения величины магнитного поля. В самом деле, из (25.3) следует, что = _Л ~ . Поэтому неравенство (25.6) будет выполняться, если индукция магнитного поля B достаточно мала.

l Ларморова прецессия объясняет парадоксальное, на первый взгляд, явление диамагнетизма: индуцированный полем магнитный момент направлен навстречу индукции .

Магнитный момент кругового тока, обусловленного вращением частицы с зарядом q, пропорционален величине заряда и угловой скорости. Поэтому ~ q _Л = – . Следовательно, магнитный момент направлен навстречу вектору . Так что диамагнетизм возникает вследствие ларморовой прецессии заряженных частиц в магнитном поле.

? Задания и контрольные вопросы

1. Дайте обоснование уравнению (25.1).

2. Расскажите о силах инерции.

3. Расскажите о принципе эквивалентности.

4*. Получите принцип эквивалентности из уравнения (25.1).

5*. Можно ли гравитационное поле скомпенсировать полем сил инерции?

6. Расскажите о теореме Лармора.

7*. Докажите теорему Лармора.

8. Объясните явление диамагнетизма.

§26. Проявление неинерциальности
системы отсчета, связанной с Землей

& Литература: [2] (§§ 66 – 68).

F Разъяснения и дополнения

l На рисунке 26 показаны силы, приложенные к грузу А, который подвешен к нити и находится в равновесии относительно лабораторной системы отсчета.

Земля вращается с угловой скоростью . Радиус Земли – R. Географическая широта лаборатории – q.

_T – сила тяготения (гравитационная сила).

_ЦБ –центробежная сила инерции.

I_ЦБ = w² r = w² R cos(q). (26.1)

По условию равновесия в лабораторной системе отсчета

+ _T + _ЦБ = 0. Следовательно, (– ) = _T + _ЦБ.

Силой тяжести m называют силу, определяющую ускорение свободного падения . Она уравновешивается в лабораторной системе отсчета силой натяжения нити и равна весу тела, так что

m = – = _T + _ЦБ. (26.2)

Сила тяжести является суммой силы тяготения и центробежной силы инерции.

l Свободно падающее тело отклоняется от отвесного направления к востоку на величину

 

S_ВОСТ = g w t³ cos(q) / 3, (26.3)

где t = – время падения с высоты h.

На рисунке 27 показаны направления сил Кориолиса, вызывающих искривление траектории движения тел относительно Земли. Тело А свободно падает. Сила Кориолиса _A отклоняет его к востоку.

l Из рисунка 27 видно, что сила Кориолиса _B отклоняет вправо тело В, движущееся на север. Тело C, движущееся на юг, под действием силы _C отклоняется тоже вправо. В южном полушарии тела отклоняются в противоположном направлении. Становится понятным, почему в северном полушарии проявляется тенденция к отклонению направо океанских течений, большему размытию правых берегов рек. Силы Кориолиса приводят также к тому, что ветры, дующие от тропиков (широта ~ 30 ⁰) к экватору, отклоняются в западном направлении. Такие ветры, постоянно дующие вблизи экватора, называют пассатами. Направо отклоняются воздушные потоки, движущиеся от тропика к Северному полярному кругу, – возникают так называемые западные ветры.

l Проявлением кориолисовой силы является также поворот плоскости качания математического маятника, который обнаруживается в опытах с маятником Фуко. Период полного поворота плоскости качания такого маятника находится по формуле:

t = , (26.4)

где T = 24 часа, а q – географическая широта.

Чтобы стало заметным описываемое явление, маятник должен в течение времени наблюдения (десятки минут) совершить небольшое число колебаний, так чтобы не успело проявиться затухание. Вот почему маятник Фуко представляет собой массивное тело на весьма длинном подвесе.

 

? Задания и контрольные вопросы

1. Расскажите о силах тяготения, тяжести и весе.

2. Расскажите о зависимости ускорения свободного падения от широты местности.

3. Расскажите об отклонении свободно падающего тела от вертикали.

4*. Как получается формула (26.3)?

5. Расскажите о проявлениях силы Кориолиса при движении тел по поверхности Земли.

6. Нарисуйте траекторию движения маятника Фуко и дайте качественное обоснование рисунку.

7*. Объясните, как получается формула (26.4).

8. Почему для демонстрации явления Фуко маятник должен быть довольно массивным и иметь большую длину?

 

Заключение

Закончено знакомство с классической механикой как разделом курса теоретической физики. Другие разделы теоретической физики не только используют конкретные положения и идеи классической механики, но и строятся по аналогии с нею. На основе наблюдений и опытов, относящихся к определенному кругу явлений, постулируется небольшое число фундаментальных положений, из которых выводится множество экспериментально проверяемых фактов. В этом отношении классическая механика – прекрасная иллюстрация идеи генерализации знаний, без реализации которой немыслимо современное образование.

Некоторые понятия, возникшие в классической механике, оказались весьма плодотворными для всей теоретической физики. К ним относятся: принцип наименьшего действия, уравнения Гамильтона, фазовое пространство, законы сохранения и другие.

Классическая механика в широком смысле слова далеко не исчерпывается изучением тех простейших видов движения, о которых шла речь в настоящем курсе. Научно-технический прогресс ставит перед механикой все новые и новые проблемы. Приходится анализировать движение все более сложных систем во все более экзотических условиях, даже если речь идет о нерелятивистских объектах. Поэтому классическая механика – всегда актуальная и разветвленная наука.

Развитие классической механики непосредственно диктовалось техническим прогрессом и ускоряло его.

Потребностями зарождающейся авиации были обусловлены фундаментальные работы Н. Е. Жуковского и С. Н. Чаплыгина по аэродинамике. Стремление достичь сверхзвуковой скорости полета самолетов привело к созданию газодинамики – разделу аэродинамики, в котором учитывается сжимаемость воздуха. Побочным продуктом аэродинамики явилась динамика атмосферы – основного раздела метеорологии.

Перед современной гидро-, аэро- и газодинамикой возникают все новые проблемы. Скорость летательных аппаратов возросла настолько, что их оболочка раскаляется и даже обгорает при движении в земной атмосфере. В МГД-генераторах используется не просто газ, а ионизированный газ – плазма. По современным трубопроводам транспортируются не только жидкости или газы, но и всевозможные смеси, сыпучие материалы. Разрабатываются проекты пневмотранспорта, реализующие идею движения по трубопроводам грузовых и пассажирских вагонов.

Своеобразным трубопроводом является кровеносная система животных. Кровь – соляной раствор, в котором находятся так называемые кровяные тельца. Последние вращаются, деформируются, слипаются. Их размер сравним с диаметром капилляров. Детальное описание движения крови в сосудах, безусловно, способствовало бы успешному лечению сердечно-сосудистых заболеваний.

Широта круга проблем, решаемых современной механикой, обуславливает выделение в ней весьма обширных разделов, широко применяемых на практике. Помимо указанных выше разделов, назовем еще некоторые.

Теория машин и механизмов, а также сопротивление материалов изучаются в технических вузах как отдельные дисциплины учебного плана.

Динамика космических полетов – теоретическая основа космонавтики. Наиболее выдающейся фигурой среди теоретиков космонавтики был М. В. Келдыш. Под его руководством рассчитывались траектории первых ИСЗ, первых луноходов и первых пилотируемых космических кораблей.

Теория устойчивости и теория оптимального управления позволяют обеспечивать автоматический полет ракеты или космического корабля к заданной цели.

Биомеханика изучает механические движения в живой природе. Пользу от такого изучения могут получить не только биологи, медики и спортсмены. Детальное знание, например, особенностей движения некоторых рыб и дельфинов позволило бы в несколько раз повысить скорость современных судов. У живой природы можно было бы позаимствовать большее разнообразие способов передвижения по сравнению с теми, которые используются в технике.

Полезно и школьников познакомить с современной механикой и ее проблемами. Тогда изучение механики в школе будет восприниматься учениками не только как познание того, чем занимались, например, Галилей или Ньютон и с чем каждый человек сталкивается в быту, но и как приобщение к актуальным проблемам современной науки.

Литература

1. Мултановский, В. В. Курс теоретической физики. Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика / В. В. Мултановский. – М.: Просвещение, 1988. – 304 с.

2. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Механика. В 5 т. Т. I /
Д. В. Сивухин. – М.: Наука, 1979. – 531 с.

3. Жирнов, Н. И. Классическая механика / Н. И. Жирнов. – М.: Просвещение, 1980.– 303 с.

4. Космодемьянский? А. А. Курс теоретической механики. В 2 т. Т. I. / А. А. Космодемьянский. – М.: Просвещение, 1965. – 537 с.

5. Ольховский, И. И. Курс теоретической механики для физиков /
И. И. Ольховский. – М.: Изд-во Московского ун-та, 1974. – 569 с.

6. Сборник задач по теоретической механике / Н. А. Бражниченко
[и др.]. – М.: Высшая школа, 1986. – 520 с.

7. Савельев, И. В. Основы теоретической физики. В 2 т. Т. 1. Механика. Электродинамика / И. В. Савельев. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 496 с.

8. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. В 10 т. Т. I. Механика /
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М.: Наука, 1965. – 216 c.

9. Селюк, Б. В. Преподавание механики в сельской школе. Законы сохранения / Б.В. Селюк. – Смоленск: Издательство СГПИ, 1988. – 32 с.

10. Селюк, Б.В. Задачи по классической механике / Б.В. Селюк. – Смоленск: Издательство СГПУ, 2005. – 76 с.

Лекции. Рабочая программа

Указаны параграфы из данного методического пособия.

1. Введение. Механика Ньютона. §§ 1 – 4.

2. Уравнение Даламбера – Лагранжа. §§ 5 – 6.

3. Уравнения Лагранжа. §§ 7 – 9.

4. Законы сохранения энергии и импульса. §§ 10 – 11.

5. Момент импульса. Использование сохраняющихся величин при описании одномерного движения. §§ 12 – 13.

6. Движение в центральном поле. §§ 14 – 16.

7. Малые колебания механических систем. §§ 17 – 19.

8. Наиболее общий аппарат классической механики. §§ 20 – 23.

9. Движение в неинерциальной системе отсчета. §§ 24 – 26.

Практические занятия. Рабочая программа

Указаны параграфы из данного методического пособия, а задачи и примеры из пособия [10].

1. Кинематика частицы. §§ 1, 2.

Примеры. 1.1 и 1.3. Задачи: 1.1б); 1.2; 1.3; 1.5Ш; 1.6; 1.7К.

2. Кинематика абсолютно твердого тела. § 3.

Примеры. 2.1 и 2.2. Задачи: 2.1; 2.3; 2.4; 2.5.

3. Динамика Ньютона. § 4.

Пример. 3.2. Задачи: 3.2; 3.3; 3.5; 3.8К; 3.9К.

4. Принцип виртуальных перемещений Бернулли. §§ 5, 6.

Примеры. 4.1 и 4.2. Задачи: 4.1; 4.2; 4.3; 4.4; 4.5.

5. Динамический принцип виртуальных перемещений. §§ 6, 7.

Пример. 5.1. Задачи: 5.1; 5.2; 5.3; 5.4.

6. Уравнения Лагранжа. §§ 8, 9.

Примеры. 6.1 и 6.2. Задачи: 6.1; 6.2; 6.3; 6.4; 6.5.

7. Энергия. Закон сохранения энергии. § 10.

Пример. 7.1. Задачи: 7.1; 7.2; 7.3; 7.4; 7.5.

8. Импульс. Закон сохранения импульса. § 11.

Пример. 8.1. Задачи: 8.1; 8.2; 8.3; 8.4; 8.5.

9. Момент импульса. Применение законов сохранения. §§12, 13.

Пример. 9.1. Задачи: 9.1; 9.2; 9.3; 9.4; 9.5.

10. Задача Кеплера. §§ 14 – 16.

Задачи: 10.1; 10.2; 10.3; 10.4; 10.7К; 10.13К.

11. Линейный осциллятор. §§ 17, 18.

Пример. 11.1. Задачи: 11.1; 11.2; 11.7; «OSCIL»; «RESON».

12. Многомерный осциллятор. §19.

Пример. 11.2. Задачи: 11.3; 11.5; 11.6. 11.6К.

13. Уравнения Гамильтона и иные законы эволюции. §§ 20 – 22.

Задачи: 12.1; 12.2; 12.3; 12.4; 12.5К.

14. Принцип наименьшего действия. §23.

Задачи: 12.7; 12.6К.

15. Движение в неинерциальных системах отсчета. §§ 24 –26.

Задачи: 13.1; 13.2; 13.4; 13.5.

Оглавление

Введение............................................................................................................ 3

Date: 2015-12-13; view: 861; Нарушение авторских прав