![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Функционал и его вариация. Уравнение Эйлера⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 23
& Литература: [1] (§ 24.3), [3] (§ 31), [7] (Приложение III). F Разъяснения и дополнения l Имеется несколько отличающихся по форме, но эквивалентных систем динамических уравнений, описывающих эволюцию механических систем. Законы Ньютона, уравнения Лагранжа и Гамильтона устанавливают соотношения, справедливые для действительно реализуемого движения системы в произвольный момент времени. Уравнения Даламбера – Лагранжа выражают дифференциальный вариационный принцип. В этих уравнениях фигурируют соотношения для виртуальных перемещений, то есть таких малых перемещений, которые в рассматриваемый момент можно себе вообразить и которые не нарушают связей.
На рисунке 22 изображены несколько функций q(t), имеющих одинаковые значения на концах промежутка [t1, t2]. Вертикальные отрезки иллюстрируют вариации функций dq = dq(t).
Величина S = где L – некоторая интегрируемая функция, представляет собой функционал, заданный на рассматриваемом классе функций. C Некоторые важные положения « Основные понятия вариационного исчисления аналогичны соответствующим понятиям математического анализа. Функция каждому элементу некоторого множества чисел ставит в соответствие число. Функционал же определенное число ставит в соответствие каждой функции какого-то класса. « Вариация функционала S [q1(t), q2(t),..., qj(t),...] определяется соотношением dS = « Функция q0(t), для которой функционал S [q(t)] принимает экстремальное значение, называется экстремалью функционала. « Для достижения экстремального значения функционала « Л. Эйлер решил задачу об экстремали функционала S [q(t)] = где под знаком интеграла – произвольная интегрируемая функция, а вариации функций q(t) на границах интегрирования равны нулю. « Вариация функционала (22.4) может быть представлена в виде:
![]() ![]() ![]() « Уравнение Эйлера
с граничными условиями q(t1) = q1 и q(t2) = q2 определяет экстремаль функционала (22.4) на классе функций q(t) с фиксированными значениями на концах промежутка [t1, t2] (рис. 22). « Примером применения уравнения Эйлера может служить задача о брахистохроне. « В общем случае, когда функционал зависит от нескольких (s) функций, в записанных выше выражениях функции q(t) нужно заменить множеством функций {qj(t)} и вставить в необходимых случаях знак суммирования. При этом (22.6) заменяется системой уравнений Эйлера:
где j = 1, 2,..., s. ? Задания и контрольные вопросы 1. Расскажите о дифференциальных вариационных принципах механики и об идее интегральных вариационных принципов. 2. Расскажите о функции и функционале. 3. Расскажите о дифференциале аргумента и о вариации функции. 4. Расскажите о нахождении экстремума функции и функционала. 5*. Докажите, что последовательные операции варьирования и дифференцирования функций можно менять местами. 6*. Выведите формулу (22.5). 7*. Выведите уравнение Эйлера. 8. Расскажите об уравнении Эйлера. 9*. Расскажите о брахистохроне. §23. Принцип наименьшего действия. & Литература: [1] (§ 24.1), [3] (§§ 32, 36, 37), [7] (§§ 7, 32). F Разъяснения и дополнения l Уравнения (22.7) совпадают с уравнениями Лагранжа (8.6), если qj – обобщенные координаты, L – функция Лагранжа и Qj’ = 0. Уравнениям Лагранжа удовлетворяют истинные уравнения движения qj = qj(t) системы. Уравнениям Эйлера – экстремали функционала (22.4) с заменой q на qj. Эти обстоятельства и позволяют сформулировать принцип наименьшего действия. l Принцип наименьшего действия Остроградского – Гамильтона заключается в том, что среди всех возможных уравнений движения из одного положения в другое за данное время действительному движению соответствуют уравнения, которые обеспечивают минимальное значение функционала действия. l Принцип наименьшего действия допускает наибольшее среди других принципов механики обобщение. Он широко используется в различных разделах теоретической физики. l Функционал действия определяется формулой S [qj(t)] = где L [qj, l Помимо функционала действия в физике рассматривают и функцию действия: S [qj, t] = Это выражение отличается от (23.1) тем, что интегрирование производится по уравнениям истинного движения между фиксированной точкой qj(t1) конфигурационного пространства и произвольно задаваемой точкой qj(t).
Из (23.2) видно, что функция Лагранжа представляет собой полную производную по времени от функции действия: L = l Связь функции действия с обобщенными импульсами следует из (22.5) (точнее говоря, из обобщения этого соотношения для многих функций qj(t)): dS =
l В квантовой физике выясняется, что функция действия не может изменяться на величины, меньшие постоянной Планка h. Поэтому универсальную постоянную величину h и называют квантом действия. Классическая механика рассматривает явления, для которых изменение функции действия DS >> h. C Некоторые важные положения « Из принципа наименьшего действия могут быть получены все остальные формы динамических уравнений, например, уравнения Гамильтона. « В качестве основного уравнения динамики можно использовать уравнение Гамильтона - Якоби:
Оно представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных для функции S = S (qj, t). Найдя общее решение уравнения (23.5), получают из него и кинематические уравнения движения qj = qj(t). « Для частицы массой m, движущейся в потенциальном поле U(
К такому же виду сводится квантово-механическое уравнение Шрединге-ра, если постоянную Планка можно считать достаточно малой (h << DS). Это означает, что классическая механика является предельным частным случаем квантовой механики.
? Задания и контрольные вопросы 1. Расскажите о принципе наименьшего действия и связи его с уравнениями Эйлера. 2. Расскажите о функции действия и функционале действия. 3. Объясните происхождение формулы (23.3) 4*. Выведите формулу (23.4). 5*. Выведите уравнение Гамильтона – Якоби (23.5). 6*. Выведите соотношение (23.6). 7. Расскажите о связи квантовой механики и классической физики. VII. ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ §24. Кинематика частицы & Литература: [3] (§ 5). F Разъяснения и дополнения l На рисунке 24 показаны: радиус-вектор
l Относительная скорость
l Относительное ускорение
По аналогии с формулой Эйлера для вращательного движения твердого тела (
где C Некоторые важные положения « Абсолютная скорость, то есть скорость
где переносная скорость
« Абсолютное ускорение,
Здесь – переносное ускорение, а
– кориолисово ускорение. ? Задания и контрольные вопросы 1. Приведите примеры ситуаций, в которых целесообразно анализировать движение относительно произвольно движущейся системы отсчета. 2. Выведите закон сложения скоростей (24.6). При дифференцировании (24.2) учтите, что орты 3. Сформулируйте закон сложения скоростей и объясните смысл входящих в него величин. 4*. Докажите теорему Кориолиса. 5. Сформулируйте теорему Кориолиса и объясните смысл входящих в нее величин. 6. Объясните смысл каждого из входящих в выражение (24.9) слагаемых. 7. Приведите примеры движений с кориолисовым ускорением. §25. Динамика частицы & Литература: [2] (§§ 63, 64, 71). C Некоторые важные положения « Ускорение m где
переносной и кориолисовойсилами инерции. « Силы инерции называют эйлеровыми силами. Они обусловлены не действием каких-то тел, а неинерциальностью системы отсчета. « Согласно принципу эквивалентности однородное поле силы тяжести эквивалентно полю сил инерции, которые обусловлены тем, что система отсчета поступательно движется с постоянным ускорением. « Теорема Лармора утверждает следующее: частица, обладающая зарядом q, массой m и совершающая финитное движение в центральном поле, при появлении достаточно малого магнитного поля, индукция которого
Это дополнительное вращение называют ларморовой прецессией, а величину F Разъяснения и дополнения l Говоря о силах Эйлера или Ньютона, в термин «сила» вкладывают более широкий смысл по сравнению с аксиоматическим определением, содержащимся в законах Ньютона. l В более общем смысле слова сила – векторная величина, определяющая ускорение (точнее говоря, изменение импульса) частицы в соответствии с уравнением движения. При таком подходе и Фигурирующие в принципе Даламбера силы называют силами Даламбера. Если перейти в систему отсчета, покоящуюся относительно рассматриваемой частицы, то силы Даламбера становятся силами Эйлера. Поэтому обычно рассматривают всего два вида сил – силы Ньютона и силы инерции (эйлеровы силы). l Теорема Лармора используется, например, при объяснении диамагнетизма. Ее доказательство может служить хорошей иллюстрацией применения уравнения (25.1). На рисунке 25 показана частица, о которой говорится в теореме Лармора. Эта частица (например, электрон в атоме) движется со скоростью
где Уравнение усложняется, если имеется постоянное магнитное поле с индукцией Запишем уравнение движения во вращающейся системе отсчета: m Здесь Пусть ½[ Тогда можно пренебречь центробежной силой. Если к тому же q [ то уравнение (25.5) примет вид (25.4) с На рисунке 25 показана траектория конца вектора Соотношение (25.7) эквивалентно (25.3) при Неравенство (25.6) вскрывает смысл содержащегося в формулировке теоремы Лармора ограничения величины магнитного поля. В самом деле, из (25.3) следует, что l Ларморова прецессия объясняет парадоксальное, на первый взгляд, явление диамагнетизма: индуцированный полем магнитный момент направлен навстречу индукции Магнитный момент кругового тока, обусловленного вращением частицы с зарядом q, пропорционален величине заряда и угловой скорости. Поэтому ? Задания и контрольные вопросы 1. Дайте обоснование уравнению (25.1). 2. Расскажите о силах инерции. 3. Расскажите о принципе эквивалентности. 4*. Получите принцип эквивалентности из уравнения (25.1). 5*. Можно ли гравитационное поле скомпенсировать полем сил инерции? 6. Расскажите о теореме Лармора. 7*. Докажите теорему Лармора. 8. Объясните явление диамагнетизма. §26. Проявление неинерциальности & Литература: [2] (§§ 66 – 68). F Разъяснения и дополнения
Земля вращается с угловой скоростью
IЦБ = w2 r = w2 R cos(q). (26.1) По условию равновесия в лабораторной системе отсчета
Силой тяжести m m Сила тяжести является суммой силы тяготения и центробежной силы инерции. l Свободно падающее тело отклоняется от отвесного направления к востоку на величину
SВОСТ = g w t3 cos(q) / 3, (26.3) где t = На рисунке 27 показаны направления сил Кориолиса, вызывающих искривление траектории движения тел относительно Земли. Тело А свободно падает. Сила Кориолиса
l Проявлением кориолисовой силы является также поворот плоскости качания математического маятника, который обнаруживается в опытах с маятником Фуко. Период полного поворота плоскости качания такого маятника находится по формуле: t = где T = 24 часа, а q – географическая широта. Чтобы стало заметным описываемое явление, маятник должен в течение времени наблюдения (десятки минут) совершить небольшое число колебаний, так чтобы не успело проявиться затухание. Вот почему маятник Фуко представляет собой массивное тело на весьма длинном подвесе.
? Задания и контрольные вопросы 1. Расскажите о силах тяготения, тяжести и весе. 2. Расскажите о зависимости ускорения свободного падения от широты местности. 3. Расскажите об отклонении свободно падающего тела от вертикали. 4*. Как получается формула (26.3)? 5. Расскажите о проявлениях силы Кориолиса при движении тел по поверхности Земли. 6. Нарисуйте траекторию движения маятника Фуко и дайте качественное обоснование рисунку. 7*. Объясните, как получается формула (26.4). 8. Почему для демонстрации явления Фуко маятник должен быть довольно массивным и иметь большую длину?
Заключение Закончено знакомство с классической механикой как разделом курса теоретической физики. Другие разделы теоретической физики не только используют конкретные положения и идеи классической механики, но и строятся по аналогии с нею. На основе наблюдений и опытов, относящихся к определенному кругу явлений, постулируется небольшое число фундаментальных положений, из которых выводится множество экспериментально проверяемых фактов. В этом отношении классическая механика – прекрасная иллюстрация идеи генерализации знаний, без реализации которой немыслимо современное образование. Некоторые понятия, возникшие в классической механике, оказались весьма плодотворными для всей теоретической физики. К ним относятся: принцип наименьшего действия, уравнения Гамильтона, фазовое пространство, законы сохранения и другие. Классическая механика в широком смысле слова далеко не исчерпывается изучением тех простейших видов движения, о которых шла речь в настоящем курсе. Научно-технический прогресс ставит перед механикой все новые и новые проблемы. Приходится анализировать движение все более сложных систем во все более экзотических условиях, даже если речь идет о нерелятивистских объектах. Поэтому классическая механика – всегда актуальная и разветвленная наука. Развитие классической механики непосредственно диктовалось техническим прогрессом и ускоряло его. Потребностями зарождающейся авиации были обусловлены фундаментальные работы Н. Е. Жуковского и С. Н. Чаплыгина по аэродинамике. Стремление достичь сверхзвуковой скорости полета самолетов привело к созданию газодинамики – разделу аэродинамики, в котором учитывается сжимаемость воздуха. Побочным продуктом аэродинамики явилась динамика атмосферы – основного раздела метеорологии. Перед современной гидро-, аэро- и газодинамикой возникают все новые проблемы. Скорость летательных аппаратов возросла настолько, что их оболочка раскаляется и даже обгорает при движении в земной атмосфере. В МГД-генераторах используется не просто газ, а ионизированный газ – плазма. По современным трубопроводам транспортируются не только жидкости или газы, но и всевозможные смеси, сыпучие материалы. Разрабатываются проекты пневмотранспорта, реализующие идею движения по трубопроводам грузовых и пассажирских вагонов. Своеобразным трубопроводом является кровеносная система животных. Кровь – соляной раствор, в котором находятся так называемые кровяные тельца. Последние вращаются, деформируются, слипаются. Их размер сравним с диаметром капилляров. Детальное описание движения крови в сосудах, безусловно, способствовало бы успешному лечению сердечно-сосудистых заболеваний. Широта круга проблем, решаемых современной механикой, обуславливает выделение в ней весьма обширных разделов, широко применяемых на практике. Помимо указанных выше разделов, назовем еще некоторые. Теория машин и механизмов, а также сопротивление материалов изучаются в технических вузах как отдельные дисциплины учебного плана. Динамика космических полетов – теоретическая основа космонавтики. Наиболее выдающейся фигурой среди теоретиков космонавтики был М. В. Келдыш. Под его руководством рассчитывались траектории первых ИСЗ, первых луноходов и первых пилотируемых космических кораблей. Теория устойчивости и теория оптимального управления позволяют обеспечивать автоматический полет ракеты или космического корабля к заданной цели. Биомеханика изучает механические движения в живой природе. Пользу от такого изучения могут получить не только биологи, медики и спортсмены. Детальное знание, например, особенностей движения некоторых рыб и дельфинов позволило бы в несколько раз повысить скорость современных судов. У живой природы можно было бы позаимствовать большее разнообразие способов передвижения по сравнению с теми, которые используются в технике. Полезно и школьников познакомить с современной механикой и ее проблемами. Тогда изучение механики в школе будет восприниматься учениками не только как познание того, чем занимались, например, Галилей или Ньютон и с чем каждый человек сталкивается в быту, но и как приобщение к актуальным проблемам современной науки.
Литература 1. Мултановский, В. В. Курс теоретической физики. Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика / В. В. Мултановский. – М.: Просвещение, 1988. – 304 с. 2. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Механика. В 5 т. Т. I / 3. Жирнов, Н. И. Классическая механика / Н. И. Жирнов. – М.: Просвещение, 1980.– 303 с. 4. Космодемьянский? А. А. Курс теоретической механики. В 2 т. Т. I. / А. А. Космодемьянский. – М.: Просвещение, 1965. – 537 с. 5. Ольховский, И. И. Курс теоретической механики для физиков / 6. Сборник задач по теоретической механике / Н. А. Бражниченко 7. Савельев, И. В. Основы теоретической физики. В 2 т. Т. 1. Механика. Электродинамика / И. В. Савельев. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 496 с. 8. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. В 10 т. Т. I. Механика / 9. Селюк, Б. В. Преподавание механики в сельской школе. Законы сохранения / Б.В. Селюк. – Смоленск: Издательство СГПИ, 1988. – 32 с. 10. Селюк, Б.В. Задачи по классической механике / Б.В. Селюк. – Смоленск: Издательство СГПУ, 2005. – 76 с.
Лекции. Рабочая программа Указаны параграфы из данного методического пособия. 1. Введение. Механика Ньютона. §§ 1 – 4. 2. Уравнение Даламбера – Лагранжа. §§ 5 – 6. 3. Уравнения Лагранжа. §§ 7 – 9. 4. Законы сохранения энергии и импульса. §§ 10 – 11. 5. Момент импульса. Использование сохраняющихся величин при описании одномерного движения. §§ 12 – 13. 6. Движение в центральном поле. §§ 14 – 16. 7. Малые колебания механических систем. §§ 17 – 19. 8. Наиболее общий аппарат классической механики. §§ 20 – 23. 9. Движение в неинерциальной системе отсчета. §§ 24 – 26.
Практические занятия. Рабочая программа Указаны параграфы из данного методического пособия, а задачи и примеры из пособия [10]. 1. Кинематика частицы. §§ 1, 2. Примеры. 1.1 и 1.3. Задачи: 1.1б); 1.2; 1.3; 1.5Ш; 1.6; 1.7К. 2. Кинематика абсолютно твердого тела. § 3. Примеры. 2.1 и 2.2. Задачи: 2.1; 2.3; 2.4; 2.5. 3. Динамика Ньютона. § 4. Пример. 3.2. Задачи: 3.2; 3.3; 3.5; 3.8К; 3.9К. 4. Принцип виртуальных перемещений Бернулли. §§ 5, 6. Примеры. 4.1 и 4.2. Задачи: 4.1; 4.2; 4.3; 4.4; 4.5. 5. Динамический принцип виртуальных перемещений. §§ 6, 7. Пример. 5.1. Задачи: 5.1; 5.2; 5.3; 5.4. 6. Уравнения Лагранжа. §§ 8, 9. Примеры. 6.1 и 6.2. Задачи: 6.1; 6.2; 6.3; 6.4; 6.5. 7. Энергия. Закон сохранения энергии. § 10. Пример. 7.1. Задачи: 7.1; 7.2; 7.3; 7.4; 7.5. 8. Импульс. Закон сохранения импульса. § 11. Пример. 8.1. Задачи: 8.1; 8.2; 8.3; 8.4; 8.5. 9. Момент импульса. Применение законов сохранения. §§12, 13. Пример. 9.1. Задачи: 9.1; 9.2; 9.3; 9.4; 9.5. 10. Задача Кеплера. §§ 14 – 16. Задачи: 10.1; 10.2; 10.3; 10.4; 10.7К; 10.13К. 11. Линейный осциллятор. §§ 17, 18. Пример. 11.1. Задачи: 11.1; 11.2; 11.7; «OSCIL»; «RESON».
12. Многомерный осциллятор. §19. Пример. 11.2. Задачи: 11.3; 11.5; 11.6. 11.6К. 13. Уравнения Гамильтона и иные законы эволюции. §§ 20 – 22. Задачи: 12.1; 12.2; 12.3; 12.4; 12.5К. 14. Принцип наименьшего действия. §23. Задачи: 12.7; 12.6К. 15. Движение в неинерциальных системах отсчета. §§ 24 –26. Задачи: 13.1; 13.2; 13.4; 13.5.
Введение............................................................................................................ 3 Date: 2015-12-13; view: 859; Нарушение авторских прав |