Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Колебания систем с несколькими степенями свободы
|
|
& Литература: [3] (§ 43), [8] (§ 23).
C Некоторые важные положения
« Малые свободные колебания консервативной системы с s степенями свободы анализируются аналогично тому, как это делается для одномерного осциллятора (§ 17).
« По аналогии с (17.2) и (17.3) вводятся кинематические параметры:
mi j = mj i = 
= 
(19.1)
и динамические параметры:
|
ki j = kj i = 
(19.2)
Индексы i и j = 1, 2,..., s. Символ q = {qj} обозначает совокупность обобщенных координат, q0 – совокупность обобщенных координат в положении равновесия, которое соответствует минимуму потенциальной функции U(q). Переменные x = q – q0 характеризуют отклонение от положения равновесия.
В качестве аналога (17.4) получается система s дифференциальных уравнений:
= 0. (19.3)
Этой системе удовлетворяют функции
xj = Aj exp(i w t), (19.4)
где коэффициенты Aj находятся из следующей однородной системы линейных алгебраических уравнений:
Aj = 0. (19.5)
Физический смысл обобщенных координат имеют, конечно, действительные части комплексных величин xj.
Нетривиальные решения (Aj ¹ 0) система (19.5) имеет при условии, что ее детерминант равен нулю:
Det (ki j – w2 mi j) = 0. (19.6)
Равенство (19.6) представляет собой вековое уравнение для нахождения собственных частот системы w0 = wa (индекс a = 1, 2,..., s).
« Общее решение системы (19.3) – суперпозиция функций (19.4):
xj = 
Сa exp(i wa t) = Qa, (19.7)
где Qa = Сa exp(i wa t). (19.8)
Соотношение (19.7) устанавливает взаимно однозначное соответствие наборов величин {xj} и {Qa}. Это означает, что вместо обобщенных координат xj рассматриваемую систему частиц можно описывать также обобщенными координатами Qa. Разумеется, здесь речь идет о действительных частях найденных комплексных функций.
« Обобщенные координаты Qa многомерного осциллятора, изменяющиеся монохроматически (то есть по гармоническому закону (19.8) с определенной частотой wa), называются нормальными координатами, а их изменения с течением времени – нормальными колебаниями.
Поскольку обобщенные координаты независимы, можно возбудить отдельно те или иные нормальные колебания.
« Функция Лагранжа в нормальных координатах принимает канонический вид:
L = 
, (19.9)
то есть представляет собой сумму лагранжианов независимых линейных гармонических осцилляторов, совершающих нормальные колебания с частотами, которые определяются по формулам
wa = 
. (19.10)
F Разъяснения и дополнения
l Малые колебания многомерного осциллятора называют гармоническими, так как они описываются линейной комбинацией (19.7) гармонических функций различных частот wa. Нормальные колебания – монохроматические.
l Нахождение нормальных колебаний заключается в определении их частот wa и соответствующих им нормальных координат Qa.
Первый способ нахождения нормальных колебаний:
1) по формулам (19.1) и (19.2) вычисляются параметры mi j и ki j системы;
2) посредством решения векового уравнения (19.6) определяются собственные частоты wa;
3) для каждой собственной частоты wa находятся коэффициенты Аa j из системы (19.5);
4) после подстановки Аa j в (19.7) нормальные координаты Qa выражаются через исходные обобщенные координаты xj решением этой системы уравнений.
Второй способ нахождения нормальных колебаний:
1) искусственным приемом функция Лагранжа приводится к каноническому виду (19.9);
2) определяются нормальные координаты Qa и параметры ma и ka;
3) вычисляются собственные частоты по формулам (19.10).
Первый способ громоздкий, но зато универсальный. Для его реализации целесообразно использовать компьютер. Второй – быстро приводит к цели, если только лагранжиан легко приводится к каноническому виду.
l На рисунке 20 изображена система двух связанных маятников.
На рисунке 21 – та же система (вид сбоку) после отклонения от положения равновесия.
Изменение с течением времени углов j1 и j2 происходит, как показывает наблюдение, не по монохроматическому закону, о чем свидетельствует то обстоятельство, что амплитуда колебаний одного маятника постепенно убывает до нуля, после чего снова возрастает, а другого – наоборот.
Можно возбудить по отдельности два нормальных колебания, соответствующих обобщенным координатам Q1 = j1 + j2 и Q2 = j1 – j2.
Первое соответствует синхронному движению маятников, находящихся все время в одинаковых фазах (Q2 = 0 ® j1 = j2). Второе – движению в противофазах (Q1 = 0 ® j1 = – j2).
? Задания и контрольные вопросы
1. В чем сходство многомерного и одномерного осцилляторов и чем они отличаются друг от друга?
2*. Получите уравнения (19.3) и (19.5).
3. Расскажите о вековом уравнении и собственных частотах.
4. Расскажите о нормальных координатах и нормальных колебаниях.
5. Что дает право рассматривать многомерный осциллятор как совокупность нескольких независимых одномерных осцилляторов?
6*. Проведите компьютерный анализ многомерного осциллятора первым способом на примере связанных маятников 43.2 [3]. Воспользуйтесь для этого файлом «Изучение М.О.».
7*. Расскажите об анализе многомерного осциллятора преобразованием лагранжиана к каноническому виду.
VI. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
И ИНЫЕ ЗАКОНЫ ЭВОЛЮЦИИ
Date: 2015-12-13; view: 768; Нарушение авторских прав