Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Уравнения Гамильтона
|
|
& Литература: [[8] (§ 40), [3] (§ 33).
F Разъяснения и дополнения
l Уравнения Лагранжа (8.6) описывают эволюцию механической системы посредством лагранжиана L, представляющего собой функцию независимых переменных qj, 
j и t. Дифференциал функции Лагранжа в этих переменных имеет простой стандартный вид:
dL = 
+ 
dt, (20.1)
где pj = 
– обобщенные импульсы, а j = 1, 2,..., s.
Выражение (20.1) можно преобразовать, выделив полный дифференциал некоторой функции независимых переменных qj, pj и t:
d 
= 
– dt. (20.2)
Функция
H = 
– L = H(qj, pj, t) (20.3)
называется функцией Гамильтона (гамильнонианом). Из (20.2) следуют такие выражения для частных производных функции Гамильтона:
= j (20.4)
и 
= – .
Правую часть последнего равенства можно выразить из уравнений Лагранжа, после чего получим:
= – 
j + Qj’. (20.5)
Уравнения (20.4) и (20.5) называют уравнениями Гамильтона.
Поскольку они получены из (8.6) и (20.1), то, подобно уравнениям Лагранжа, также описывают эволюцию системы.
l При Qj’ = 0 уравнения Гамильтона приобретают симметричный относительно переменных pj и qj вид. В этом случае их называют каноническими уравнениями Гамильтона, а переменные pj и qj – канонически сопряженными переменными.
l Канонически сопряженные переменные из-за симметрии канонических уравнений Гамильтона оказываются равноправными: преобразование pj’ = qj, qj’ = – pj не меняет вида этих уравнений.
l Равноправие канонически сопряженных переменных делает целесообразным использование пространства всех канонически сопряженных переменных (фазового пространства) для описания состояния механической системы и ее эволюции.
l Чтобы записать гамильтониан конкретной системы, нужно:
1) выразить через обобщенные координаты qj и обобщенные скорости j кинетическую энергию T;
2) найти обобщенные импульсы pj = 
= 
;
3) выразить величину H = T + U через обобщенные координаты и импульсы.
C Некоторые важные положения
« Уравнения Гамильтона – дифференциальные уравнения первого порядка; их число 2s вдвое больше числа уравнений Лагранжа.
« Функцией Гамильтона называют выраженную через обобщенные координаты и импульсы сумму кинетической энергии и потенциальной функции:
H = T + U = H(qj, pj, t). (20.6)
При 
= 
= 0 гамильтониан представляет собой полную механическую энергию системы.
« Гамильтониан частицы массой m, движущейся в поле U(
), имеет вид:
H = 
+ U(), (20.7)
где p – модуль ее импульса.
? Задания и контрольные вопросы
1. Что имеют общего и чем отличаются друг от друга уравнения Лагранжа и уравнения Гамильтона?
2. Расскажите о функции Гамильтона.
3. Приведите выражение (20.1) к виду (20.2).
4*. Выведите уравнения Гамильтона.
5*. Расскажите о канонически сопряженных переменных и о фазовом пространстве.
6*. Докажите равноправность канонически сопряженных переменных.
7. Запишите уравнения Гамильтона для частицы, движущейся в поле U().
Date: 2015-12-13; view: 541; Нарушение авторских прав