Интегралы движения. Скобки Пуассона

« Скобками Пуассона для величин H и f называют выражение вида:

{H, f} = . (21.1)

« Полная производная по времени величины f, зависящей от обобщенных координат q_j и импульсов p_j, может быть подсчитана так:

= + {H, f}, (21.2)

где H – гамильтониан системы.

« Если величина f явно не зависит от времени и ее скобки Пуассона с гамильтонианом равны нулю, то она является интегралом движения.

« Для скобок Пуассона произвольных величин f и g справедливы тождества:

{f, g} = – {g, f}, (21.3)

{f₁+f₂, g} = {f₁, g} + {f₂, g}, (21.4)

{f₁ f₂, g} + f₁ {f₂, g} + f₂ {f₁, g}. (21.5)

« Канонические уравнения Гамильтона приобретают особенно симметричный вид, если использовать скобки Пуассона:

= _j = {H, q_j}; – = _j = {H, p_j}. (21.6)

? Задания и контрольные вопросы

1. Что такое интегралы движения? Приведите примеры интегралов движения.

2*. Выведите формулу (21.2).

3. Расскажите о скобках Пуассона.

4. Как с помощью скобок Пуассона находятся интегралы движения?

5*. Докажите соотношения (21.6).

6*. Докажите с помощью скобок Пуассона, что в центральном поле момент импульса является интегралом движения.