Консервативной системы

« Свободные одномерные колебания консервативной системы возможны вблизи положения равновесия, соответствующего минимуму потенциальной функции U = U(q) как функции обобщенной координаты q.

« При достаточно малых отклонениях x = q – q₀ от положения равновесия лагранжиан системы можно представить в виде:

L = – . (17.1)

Кинематический параметр m вычисляется следующим образом:

m = = . (17.2)

Динамический параметр k, или коэффициент квазиупругой силы, определяется так:

« Лагранжиан (17.1) приводит к динамическому уравнению

+w²x = 0, (17.4)

где w = . (17.5)

Этому уравнению удовлетворяют функции, описывающие гармонические колебания:

x = a cos(w t + j₀). (17.6)

Так что в системе с лагранжианом (17.1) реализуются свободные линейные гармонические колебания. Поэтому такую систему называют линейным гармоническим осциллятором.

« Энергия E линейного гармонического осциллятора связана с амплитудой a соотношением

E = m w² a² / 2. (17.7)

? Задания и контрольные вопросы

1. Расскажите о колебаниях, колебательных движениях и механических колебаниях.

2. При каких условиях возможны свободные одномерные механические колебания?

3. При каких условиях колебания считаются малыми?

4. Каковы особенности малых свободных колебаний консервативной системы?

5*. Выведите формулу (17.1).

6. Расскажите, как находится период малых колебаний консервативной системы.

7. Расскажите, как определяются амплитуда и начальная фаза колебаний гармонического осциллятора.