Задача 7. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики

Однородный каток А радиуса R и массы катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Коэффициент тре­ния качения равен . Каток приводится в движение посредст­вом троса, переброшенного через блок В радиуса и массы , распределенной по ободу. К концу троса подвешен груз D мас­сы (рис. 128, а). Определить, с каким ускорением опускается груз.

Рисунок 128

Решение. Приложим к телам системы (рис. 128, б) их силы тяжести , к катку А — силу , момент сопро­тивления качению , отнеся его к активным силам, а также силы инерции. Груз D движется поступательно, его сила инер­ции блок В совершает вращательное движение, силы инерции точек блока приводятся к главному моменту сил инерции ; каток А совершает плоскопараллельное движение, силы инерции точек катка приводятся к главному вектору , приложенному к центру катка, и главному моменту сил инерции относительно центра масс .

Сообщим грузу D перемещение . Блок В при этом по­вернется на угол , а центр масс катка переместится на рас­стояние , и каток повернется относительно МЦС (точки Р) на угол .

Составим сумму возможных работ активных сил и сил инерции, считая связи идеальными (возможная работа силы сцепления равна нулю, т. к. она приложена в МЦС).

.

или

.

Выразим все перемещения через перемещение груза D, учитывая нерастяжимость троса:

.

Аналогично выразим угловые ускорения и через ускорение :

.

Тогда

.

.

Момент сопротивления качению катка

.

С учетом этого сумма возможных работ

.

Отсюда, т. к. ,

.

движение возможно, если

.

Вопросы для защиты задачи

1. Как определяются силы инерции при поступательном, вращательном и плоском движениях?

2. Что называют возможными перемещениями механической системы?

5.Сущность принципа Даламбера для механической системы.

6 Сущность принципа возможных перемещений.

7.Сущность общего уравнения динамики.