Дифференциальные уравнения первого порядка

1) Диф. ур-я 1-го порядка.

О: Диф. ур-ем наз. ур-е, в которое входит хотя бы одна производная некоторой искомой ф-ции и могут входить искомая ф-ция и независимая переменная.

Если иском. ф-ция зависит только от одной переменной, то ур-е наз. обыкновенным диф. ур-ем, если от нескольких, то ур-е наз. ур-ем частных производных.

О: Порядком диф. ур-я наз порядок наивысшей произв-ой, входящей в ур-е.

Ур-е 1-го пор-ка в общ. виде запис-ся: F(x,y,y^/ )=0 – неявный вид, y^/=F(x,y) – явный вид.

Ур-е n -го пор-ка запис-ся: F(x,y,y^/,y^//,…,y⁽ⁿ⁾)=0 – неявный вид, y⁽ⁿ⁾=F(x,y,…,y^(n-1))- явный вид.

О: Решением диф.ур-я на нек-ром множ-ве наз. всякая ф-ция, обращающая на данном мн-ве это ур-е в тождество. Поиск нахождения решения диф. ур-я наз. интегрированием диф. ур-я.

График решения диф. ур-я наз. интегральной кривой.

Н-р: y^/=2x, решение: y=x², y=x²+С. Интегр-ми кривыми явл-ся параболы.

Вообще, ур-я 1-го пор-ка обычно им. б/много реш-ий, кот. м/о запис. в виде: y=j(x,С) – явный вид, Ф(x,y,С)=0 – неявный вид. Такое реш-е зависит от произв-й, пост-ой С, оно наз. общим реш-ем диф. ур-я. Графиком общего реш-я явл-ся сем-во интегральных кривых.

О: Реш-е диф.ур-я, полученное из общего при конкретном значении С наз. частным решением диф.ур-я.

Частное реш-е нужно выделять из общего заданием начального условия, кот. закл-ся в том, что при x=x₀ искомая ф-ция y=y₀. Оно запис-ся так: y(x₀)=y₀ или y_{/ x=xo}=y₀.

Н-р: Найти частн. реш-е, удовл-щее условию y(2)=5.

y^/=2x, реш-е: y=x²+C; 5=2²+C Þ C=1; частн. реш-е: y=x²+1.

Геометрически задание нач-го усл-я означ. выбор из всего семейства интегр-х кривых той, кот. проходит ч/з т.(x₀,y₀).

Найдем общ. реш-е ур-я S^//(t)=kt, проинтегрировав его дважды: S^/(t) = (kt²/2) + C₁, S(t) = (kt³/6)+C₁t+C₂.

Вообще, общее реш-е 2-го пор. завис. от 2-х произв-х постоянных. Для выбора частного реш-я нач. усл-е задается след. образом: S(t₀)=S₀, S^/(t₀)=V₀.

Общ. реш-е ур-я n -го пор. м/о запис. в виде: Ф (x,y,C₁,C₂,…,C_n)=0 – неявный вид.

Нач. усл. им. вид: y(x₀)=y₀, y^/(x₀)=y^/₀, y^//(x₀)=y^//₀,…, y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1).

Задача поиска реш-я диф.ур-я, удовлетворяющая нач-ым условиям наз. задачей Коши.

Теор. сущ-ния и ед-ти реш-я з-чи Коши:

Если в ур-ии y^/=f(x,y) ф-ция f(x,y) и её частн. производная дf/дy непрерывны в нек-рой обл-ти D, содержащей т.(x₀,y₀),то сущ-ет ед. реш-е данного ур-я y=j(x), удовл-щее нач. усл-ю y₀=j(x₀).

(В усл-ях теоремы ч/з кажд. точку обл-ти D прох. ед. интегр. кривая.)

О: Общим решением диф. ур-я 1-го пор. F(x,y,y^/)=0 наз. ф-ция y=j(x,C), зависящая от одной переменной и одной произвольной постоянной и удовл-щая 2-м условиям:

1) Эта ф-ция явл-ся реш-ем данного диф.ур-япри любом конкр. знач-ии С;

2) Каково бы ни было нач. усл. y=y₀ при x=x₀, м/о найти такое С=С₀, что ф-ция y=j(x,C₀) удовл-ет указанному нач. усл-ю, т.е. j(x₀,C₀)=y₀ .

Т.о. из общего реш-я нах-ся не все реш-я диф.ур-я, а т/о такие, кот. яв-ся единственными при нек-рых нач. усл-ях. М/т сущ-ть реш-я диф.ур-ий, кот. не м. б. получены из общего; это такие, ч/з каждую точку к-рых проходит более одной интегр. кривой.

О: Реш-е диф.ур-я наз особым, если ч/з каждую его точку прох-т по крайней мере ещё одна, касающая его интегр. кривая.(Это реш-е не возник-т из общего ни при каком значении произвольной пост-ой С).

Точки, ч/з кот. прох-т более одной интегр. кривой или ни одной интегр. кривой, наз. особыми. (Усл-е теоремы сущ-ния и ед-ти реш-я диф.ур-я в этих точках нарушены).