Площадь поверхности

Поверхн задана уравн Z =f(x,y), где ф/ f(x,y) непр. вместе с частными производными в обл. D. Такая поверхность наз. гладкой. Она в каждой т. имеет касат. плоск., изменяющуюся непрер. Разобьём обл. D на n произвольных частей , площади их- . Выберем в каждой части

произвол. т. .

На поверности ей соответствует т. , где . Проведём в т. касат. плоск. к поверхности и выделим на ней часть, проектирующуюся в

обл. . Обозначим площадь этой части . Тогда вся поверхность покроется чешуйками. Обозначим площадь, образован. чешуйк., .

О: Площадью поверхности наз. не зависящий от разбиения обл. D и от выбора точек .

Из курса аналит. геометрии изветно, что касат. плоск = , g - угол м/у пл-тью Oxy и касат. пл-тью в т. .

Если одна пл-сть

,

а 2-ая , то

,

получили инт. сумму для непр., а значит интегрируем. ф-ции