Полиномы над полем

О: Многочленом (полиномом) от неизв х над полем Р наз. алгебраич S целых неотр степ х взятых с нек-ми коэф-ми из поля Р.

f(x)=a₀xⁿ+…+a_n-1x+a_n или

f(x)=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀,

где , P[x]-мн-во многочл над полем Р.

О: Степ многочл наз. наиб знач-е показателя неизв-го, коэф. при кот-м отличен от 0.

N(f(x))=n-степень многочл.

О: d(x)=(f(x),g(x))-НОД f(x) и g(x), если:

1.

2. " h(x)-общего делителя f(x) и g(x), .

Способом нахожд НОД явл. алгоритм Евклида.

Запишем процесс послед дел-я.

f(x)=g(x)g₁(x)+r₁(x) (1)

g(x)=r₁(x)g₂(x)+r₂(x) (2)

r₁(x)=r₂(x)g₃(x)+r₃(x) (3)

r_k-2(x)=r_k-1(x)g_k(x)+r_k(x) (k)

r_k-1(x)=r_k(x)g_k+1(x)+r_k+1(x) (k+1)

Тогда d(x)=r_k(x).

Док. 1) Покажем, что

Из рав-ва (к+1) =>

Из рав-ва (k) =>

r_k-2(x)=r_k-1(x)g_k(x)+r_k(x) =>

и т. д. поднимаясь по рав-вам алгоритма получаем:

из рав-ва (2) =>

(1) =>

2) Пусть h(x)-произв общий делитель f(x) и g(x). Покажем, что .

Из (1) =>

Из (2) =>

Из (k) =>

Разложение многочл в произвед неприводимых множителей.

Т: "f(x) на нулевой степ Î-й P[x] м/о представить в виде произвед непривод многочл 1! образом с точностью до множителя нул степени.

Док-во: 1) Единств-ть.

a) Если f(x) не приводим над полем P, то f(x)=a*1/a*f(x), где аÎP, др. разлож нет.

b) f(x)-приводим над P,

тогда f(x)=f₁(x)*f₂(x), где f₁(x),f₂(x)ÎP[x] и

0< N(f₁(x)),N(f₂(x))<n. Если f₁(x),f₂(x)-неприводимые, процесс разлож закончен.

Если хотя бы 1 из них приводим, то раскладываем на множители его.

Процесс разлож конечен, т.к члены сомножителей уменьш оставаясь при этом не отриц-ми.

2) Единственность с точностью до множителя с нул степенью.

Пусть f(x)=p₁(x)*p₂(x)*…*p_s(x),

"p_i(x)-неприводим i=1…s. Выберем в поле P элементы c₁,c₂…c_s такие, что c₁*c₂*…*c_s=1, тогда f(x)=(c₁*p₁(x))*(c₂*p₂(x))*…*(c_s*p_s(x)), c₁,c₂…c_s-могут быть выбраны ¥-м числом способов.

Покажем, что др разлож f(x) не м. быть. (м. от противного)

Доп., что f(x)=g₁(x)*g₂(x)*…*g_t(x), где "g(x)-неприводимый, тогда p₁(x)*p₂(x)*…*p_s(x)= g₁(x)*g₂(x)*…*g_t(x), тогда , т.к. g₁(x)-неприводимый многочлен, $ .

Для удобства записи будем считать, что . Т.к. p₁(x)-неприводим, он имеет всего 1 делитель =а₁, так a₁*p₁(x) Значит g₁(x)¹a₁=>g₁(x)=a₁*p₁(x). Получаем p₁(x)*p₂(x)*…*p_s(x)= a₁*p₁(x)*g₂(x)*…*g_t(x), сократим обе части на p₁(x). тогда p₂(x)*…*p_s(x)=a₁*g₂(x)*…*g_t(x).

Левая часть рав-ва / нацело на g₂(x) и аналогично предыд получаем, что g₂(x)= a₂*p₂(x). Сократив рав-ва на p₂(x) получаем p₃(x)*…*p_s(x)=a₁*a₂* g₃(x)*…*g_t(x).

И т.д. многочл p_i(x) и g_i(x) отлич-ся множителями нул степени.

Докажем, что s=t.

Допустим, что s>t, тогда на t-ом шаге получим, что p_t+1*…*p_n=a₁*…*a_t степени левой и правой части не совпадают. Аналогично, если t<s.