Определенный интеграл

(Нет задач приводящих к понятию опр. интеграла)

Рассм у=f(x), хÎ[a,b];

х₀=а₁,х₁,х₂,…,х_n=b; [х₀,x₁];[x₁,x₂];…[x_n-1,x_n]; Dx_i=x_i-x_i-1 ;c_iÎ[x_i-1,x_i]; f(c₁), f(c₂),…,f(c_n). f(c₁) Dx₁+f(c₂)Dx₂ +…+f(c_n)Dx_n = - интегр сум постр-я для ф. у=f(x) относ. отр. [a,b].

Предел интегр сум для ф. у=f(x) построенной отн-но отр [a,b] при n®¥, если он $-ет и не зависит от спос разб отр и выбора т. с_i наз опред ò для ф. у=f(x) по [a,b], обозн lim = .

Св-ва опр. ò 1. =0. 2.если f(x)=0, хÎ[a,b] то =0.

3. =- . 4. . 5. k . 6. + . 7.если f(x)³0, хÎ[a,b] то ³0

8.если f(x)>q(x),хÎ[a,b] то > 9. £ , a<b

10. M=sup f(x), m=inf f(x) m(b-a)£ £M(b-a)

11. для " чисел a,b,c +

12. Т. о среднем: Если у=f(x) опред и непр-на на [a,b], то внутри этого отр $ по кр мере одна такая т. с для к-й f(c)(b-a).

Док-во: т.к. ф. опред и непр-на на отр, то $ такие M и m, что по св-ву 10 разделив на (b-a) получим m£ £M, обозначим за с-ср. знач ф. и получим m.£c£M. $ такое a<c<b, f(c)=c, то есть f(c)= . =f(c)(b-a)

Ф. Н-Л-ца: =F(b)-F(a).