Система аксиом Вейля

Суть аксиом-го м-да: вводятся некот. пон-я без определения и наз. они основными (или неопределяемыми). Все ост-е пон-я д. опред-ся ч/з основные. М/у этими пон-ми устан-ся некот. соотношения или операции, кот. также не опред-ся. Формулир. аксиомы, кот. приним. без док-ва и связывают основ. понятия и основ. опер. м/у собой.

К осн. пон-ям предъявл-ся треб-я нез-ти и дост-ти. Незав-ть: одни осн-е пон-я неопределяемы ч/з др. Достат-ть: осн-х пон-й дост-но для постр-я дан. дисциплины.

К аксиомам тоже предъяв-ся след. треб.: – непротиворечивость (два предл-я наз-ся противор-ми если истинность одного отрицает истин-ть др-го); – нез-ть (два предл-я наз-ся незав-мыми др. от др., если мы не можем док-ть истин-ть одного на осн-ии др-го); – достат-ть (означает что данной совок-ти аксиом дост-но для постр-я дан. дисциплины).

Аксиоматика Вейля 3-х мерного простр-ва.

Осн-ми пон-ми явл-ся: точка, вектор, действитю число.

– структура

Осн. соотнош-я (операции):

1. Слож-е век-ов: .

2. Умн-е в-ра на число: .

3. Скаляр-ое умн-е в-в: .

4. Упорядоченное соотнош-е:

.

Аксиомы:

I. V образ. лин-ое пр-во.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

II. V – трехмерное пространство.

1.

2.

при

III. V – евклидово простр-во.

1.

2.

3.

4.

IV. Множество точек не пусто

Æ

V. Аксиома откладывания в-ра

VI. Аксиома сложения

Если вып-ся все шесть групп аксиом, то структура, состоящая из точек и векторов образует трехмерное евклидово прос-во (точечно- векторное).

Для проверки непротиворечивости и полноты строим модель арифметическую, т. е. под т-ой и вектором понимаем упорядоченную 3-ку чисел.

и проверяем выполнимость каждой аксиомы.

Прямая в аксиоматике Вейля определяется так:

Прямой прох. ч/з дан. т. А в направл-ии дан. в-ра наз. множ-во таких т-к М, для кот. вып-ся рав-во

Отрезок: