Приклад 3.1.7

Інтегрування частинами називається знаходження інтеграла за формулою:

.

(3.1.8)

При використанні даного методу необхідно, насамперед, установити, яку функцію прийняти рівною , а що позначити через , потім за встановленим виразом диференціюванням знайти , а за відомим шляхом інтегрування знайти функцію (при цьому вважають, що ).

v Для інтегралів виду , де – многочлен, за варто прийняти .

v Для інтегралів виду за приймаються відповідно функції , , , , , .

v Для інтегралів виду ; ; ; за приймається кожна з функцій, але обов'язково потрібне дворазове інтегрування частинами.

Приклад 3.1.8. .

Приклад 3.1.9.

.

Розглянемо правильний раціональний дріб (, – многочлени, степінь менше степеня ). Кожний правильний раціональний дріб може бути представленим у вигляді суми скінченного числа простих дробів.

Розглянемо кілька випадків:

а) , тоді дріб представляють у вигляді:

,

де – коефіцієнти, які необхідно визначити.

б) , тоді

,

– необхідно визначити.

в) .

.

Послідовність розкладання правильного раціонального дробу буде такою:

1)	Знаменник дробу розкладають на множники.
2)	Заданий дріб представляють у вигляді суми простих дробів з невідомими коефіцієнтами.
3)	Приводять до загального знаменника суму простих дробів і прирівнюють чисельники обох частин.
4)	Визначають коефіцієнти і переходять до інтегрування простих дробів. Щоб знайти коефіцієнти використовують два способи: а) задають конкретні значення (корінь знаменника); б) прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях і розв’язують систему. Перший прийом особливо зручний, коли знаменник розкладається на різні множники.
Зауваження.	Якщо підінтегральний дріб неправильний, то, розділивши чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів), можна представити даний дріб у вигляді суми многочлена і правильного дробу.

Розглянемо всі етапи інтегрування раціональних дробів на прикладах.

Приклад 3.1.10. Обчислити .

Розв’язання. Виділимо в підінтегральному виразі цілу частину:

Одержимо .

Розкладемо знаменник простого дробу на множники:

.

.

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної і розв’яжемо систему рівнянь.

.

Приклад 3.1.11. Обчислити .