Інтегральне числення функції однієї змінної

3.1. Основні методи інтегрування

Функція називається первісною для функції на деякому відрізку , якщо у всіх точках цього відрізка виконується рівність . Процес знаходження первісної для заданої функції називається інтегруванням.

Інтегрування функцій – дія, обернена диференціюванню. Знайти невизначений інтеграл означає, що потрібно знайти первісну функції, тобто функцію, похідна якої дорівнює підінтегральній функції.

Невизначеним інтегралом від функції називається сукупність всіх її первісних

,

(3.1.1)

де – довільна постійна.

Обчислення невизначеного інтеграла здійснюється з використанням таблиці інтегралів, властивостей інтеграла, а також цілого ряду спеціальних прийомів.

Таблиця основних інтегралів

Основні властивості невизначеного інтеграла

v Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції; диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

; .

(3.1.2)

v Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної:

.

(3.1.3)

v Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

.

(3.1.4)

v Невизначений інтеграл алгебраїчної суми скінченного числа доданків дорівнює сумі невизначених інтегралів доданків:

.

(3.1.5)

v Якщо справедлива рівність , то справедливим буде і співвідношення:

.

(3.1.6)

До основних методів інтегрування відносяться: безпосереднє інтегрування, метод заміни змінної і інтегрування частинами.

Метод інтегрування, заснований на застосуванні властивостей невизначеного інтеграла і таблиці інтегралів, називається безпосереднім інтегруванням. Розглянемо цей метод на прикладах.