Розв’язання. 1) Область визначення функції – інтервал

1) Область визначення функції – інтервал .

2) Знайдемо перші і другу похідні функції

, .

3) Розв’яжемо рівняння і знаходимо, що і . Це критичні точки, які ділять область визначення функції на інтервали , , .

+ – +

2 3

На інтервалі крива опукла, а на інтервалах і – увігнута. Таким чином, при переході через точки і друга похідна змінює знак. Ці точки є точками перегину. Значення функції в точках перегину:,.

Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки кривої до прямої прямує до нуля при видаленням прямуванні точки в нескінченність.

Розрізняють асимптоти вертикальні, горизонтальні і похилі.

1. Крива має вертикальну асимптоту , якщо при , або при . Вертикальні асимптоти – це, наприклад, нулі знаменника функції.

2. Крива має горизонтальну асимптоту , якщо при .

3. Для визначення похилої асимптоти кривої слідує знайти числа і за формулами

,

(2.3.1)

(іноді варто окремо розглядати випадки і ).

Рекомендується дослідження функцій методами диференціального обчислення проводити, дотримуючись такого приблизного плану.

1. Знайти область визначення функції, інтервали неперервності і точки розриву.

2. Визначити парність або непарність функції, її періодичність.

3. Знайти точки перетину графіку функції осей координат.

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Визначити інтервали монотонності, точки екстремуму функції.

6. Визначити інтервали опуклості, увігнутості, точки перегину графіка функції.

7. За результатами дослідження побудувати графік функції.

Приклад 2.3.4. Дослідити функцію і побудувати її графік.