Основні властивості визначеного інтеграла

v Значення визначеного інтеграла не залежить від змінної інтегрування

.

(3.1.11)

v При перестановці границь інтегрування знак визначеного інтеграла змінюється на протилежний

.

(3.1.12)

v Інтеграл з однаковими границями інтегрування дорівнює нулю

.

(3.1.13)

v Якщо відрізок інтегрування розбити точкою , то інтеграл по всьому відрізку буде дорівнює сумі інтегралів по його частинах

.

(3.1.14)

v Інтеграл від алгебраїчної суми підінтегральних функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій

.

(3.1.15)

v Постійний множник можна виносити за знак інтеграла

.

(3.1.16)

v Визначений інтеграл у симетричних щодо нуля границях від парної функції дорівнює подвоєному інтегралу на половини інтервалу інтегрування:

.

(3.1.17)

v Визначений інтеграл у симетричних щодо нуля границях від непарної функції дорівнює нулю

.

(3.1.18)

Заміна змінної і інтегрування частинами у певному інтегралі має свої особливості:

v Якщо при обчисленні визначеного інтеграла застосовується одна з існуючих замін , то перетвориться не тільки підінтегральний вираз, але і границі інтегрування за формулою:

,

(3.1.19)

де . Проводячи заміну змінної в певному інтегралі, до старої змінного не вертаються.

v Інтегрування частинами у певному інтегралі здійснюється за формулою:

.

(3.1.20)

Приклад 3.1.20. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Вводимо нову змінну інтегрування, думаючи . Звідси знаходимо .

Обчислимо нові границі інтегрування:

при маємо , ;

при маємо , .

Отже,

.

Приклад 3.1.21. Застосовуючи формулу інтегрування частинами, обчислити інтеграл .

Розв’язання. Покладемо , тоді . Звідси за формулою інтегрування частинами одержимо:

.