Розв’язання. 2. Знайдемо похідну даної функції

1. Область визначення .

2. Знайдемо похідну даної функції .

3. Прирівняємо похідну до нуля і, розв’язавши це рівняння, знайдемо критичні точки функції , .

4. Досліджуємо критичні точки за достатньою ознакою екстремуму. Це зручно робити в таблиці 2.3.1:

Таблиця 2.3.1 – Дослідження функції

			-		-

Для знаходження знака похідної досить підставити в неї будь-яке значення з розглянутого інтервалу. Так, досліджуючи інтервал , можна взяти, наприклад, точку і підставити це значення в похідну: . Дослідивши, зазначеним чином знаки похідної в інтервалах , зауважуємо, що похідна змінює знак при переході через точку 0 (з “+” на “-”) і при переході через точку 2 (з “–” на “+”). Тобто, – точка максимуму, а – точка мінімуму. Значення функції в цих точках рівні , .

Підкреслимо, що, досліджуючи функцію на екстремум, ми одночасно знаходимо і інтервали монотонності функції.

Графік функції називається опуклим на інтервалі , якщо він розташований нижче дотичної, проведеної до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу (рис. 2.3.1).

Графік функції називається у вігнутим на інтервалі , якщо він розташований вище дотичної, проведеної до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу (рис. 2.3.2). Точка кривої, що відокремлює її опуклу дугу від увігнутої, називається точкою перегину.

Рис. 2.3.1 – Графік Рис. 2.3.2 – Графік

опуклої функції увігнутої функції

Достатня ознака опуклості (увігнутості) графіка функції: якщо на інтервалі , то графік функції є опуклим на цьому інтервалі; якщо , то на інтервалі графік функції увігнутий.

Точки кривої, у яких друга похідна або не існує, називаються критичними точками другого роду. Точки перегину варто шукати серед критичних точок другого роду.

У критичній точці другого роду перегин буде тільки в тому випадку, коли при переході через цю точку змінює знак.

Приклад 2.3.3. Визначити інтервали опуклості і увігнутості і точки перегину графіка функції .