Диференціальне числення функції однієї змінної

Похідною функції в точці називається границя відношення змінення функції до змінення аргументу, коли змінення аргументу прямує до нуля:

.

(2.2.1)

Загальний зміст похідної. Похідна є швидкість зміни функції в точці , тобто швидкість, з якою змінюється функція при переході через точку.

Геометричний зміст похідної. Похідна в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої в точці дотику, тобто кутовому коефіцієнту дотичної.

Функція, що має похідну, називається диференційованою.

Вихідним моментом в оволодінні технікою диференціювання є засвоєння таблиці похідних і основних правил диференціювання:

Таблиця похідних

Основні правила диференціювання

.

Приклад 2.2.1. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Застосуємо правило диференціювання добутку і скористаємося таблицею похідних.

.

Якщо , а є функцією незалежної змінної : , то називається складною функцією змінної . Змінна при цьому називається проміжною. Похідна по функції має вигляд . Аналогічне правило має місце і у випадку, коли складна функція задається ланцюжком, що містить три і більше ланки. Наприклад, якщо , то . Практичну реалізацію цього правила покажемо на прикладах.

Приклад 2.2.2. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Спочатку застосуємо формулу диференціювання показникової функції , де , потім застосуємо формулу диференціювання степеневої функції , де , далі - формулу диференціювання тригонометричної функції , де і, нарешті, диференціюємо . У детальному записі це має вигляд:

Приклад 2.2.3. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Застосуємо правило диференціювання складної функції і одержимо

.

Date: 2015-12-12; view: 421; Нарушение авторских прав