Распределение вероятностей

Поскольку существует 2 типа случайных переменных, то так же существует и 2 типа распределений вероятностей:

· непрерывное распределение;

· дискретное распределение;

В общем случае, распределение вероятностей для дискретной случайной переменной задается в виде:

Непрерывная случайная переменная имеет более сложное вероятностное описание.

Функция плотности вероятностей f(x) есть функция, которая для любого интервала [Х₁;Х₂] на оси Х позволяет определить вероятность того что случайная переменная Х находится в этом интервале.

В общем случае f(x) – некоторая прямая.

f(x)

X₁ X₂ X

Р(X₁ ≤ X≤X₂)=

Зная функцию плотности вероятности f(x) можно поставить вопрос чему равна вероятность того, что случайная переменная Х примет значение не больше чем Х₀

f(x)

X₀ X

Р(Х≤Х₀)=

Такую вероятность можно определить для любой точки оси Х, определяя тем самым функцию F(X), называемую функцией распределения.

F(x) =

Случайные переменные, имеющие различную физическую природу, могут иметь одну и ту же вероятностную структуру. В конечном итоге видов распределения вероятностей или законов распределения вероятностей не очень много.

Математическое ожидание (M)

Математическое ожидание дискретной случайной переменной определяется

М

Например: M(X) случайной переменной, соответствующая количеству выпадений орла при трех бросаниях монеты выглядит следующим образом:

X 0 1 2 3

P 1/8 3/8 3/8 1/8

тогда

М (Х) = 0*1/8+1*3/8+2*3/8+3*1/8=1,5

Таким образом, М(Х) есть некоторая средневзвешенная арифметическая величина, где весами являются вероятности, следовательно М(Х) характеризует меру положения для случайной переменной.

f(x)

M(X) X

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x)

М(Х) – это интеграл

Математическое ожидание имеет следующие свойства (Х, У – произвольные случайные величины, а – const)

1. М(а)=а

2. М(Х+У)=М(Х)+М(У)

3. М(ХУ)=М(Х)*М(У), при условии что Х и У – независимые случайные переменные.

4. Если Х ≥ У при всех реализациях, то М(Х)≥М(У).

Дисперсия (D)

Дисперсия отражает степень «разброса» случайной величины, относительно среднего значения. Для дискретной случайной переменной D рассчитывается по формуле:

Дисперсия случайной переменной имеет следующие свойства:

1. D(а)=0

2. D(X)=M(X²)-[M(X)]²

3. D(X+Y)=D(X)+D(Y) – для независимых случайных переменных.