Плоская задача теории упругости в полярных координатах

При решении плоской задачи в полярных координатах ряд инженерных задач удается решить путем непосредственного интегрирования исходных дифференциальных уравнений. Ориентация и обозначение напряжений в полярной системе координат показаны на рисунке 3.

Основные уравнения плоской задачи теории упругости в полярных координатах имеют вид:

уравнения равновесия:

(8)

уравнение совместности деформаций в напряжениях:

(9)

где Ѳ - гармонический оператор Лапласа в полярных координатах:

, (10)

соотношения Эри и бигармоническое уравнение:

(11)

(12)

Несмотря на более громоздкий вид уравнений плоской задачи в полярных координатах для ряда инженерных задач удается найти решение в замкнутом виде.

Одной из таких задач является задача о простом радиальном напряженном состоянии, когда при интегрировании уравнений (8) и (9) получают следующее напряженное состояние:

; . (13)

Этому состоянию соответствует задача о клине, нагруженном силой в вершине (рисунок 4).

Значения постоянных k и q₀, можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:

(14)

; (15)

где a - угол полураствора клина и b - угол отклонения силы Р от биссектрисы угла.

Большое инженерное решение имеет частный случай - задача Фламана о действии силы на полуплоскость (рисунок 5).

В этом случае угол полураствора клина равен a = 90°, угол b = 0°.

Постоянные: k =

Выражение для напряжений принимает вид:

Рассмотрим напряженное состояние полуплоскости на разных глубинах. Для этого удобнее перейти к декартовым координатам.

Воспользуемся выражениями для напряжений по наклонным площадкам:

(16)

(17)

(18)

На рисунках 6 – 8 показаны эпюры напряжений в слое, отстоящем от поверхности полуплоскости на расстоянии а.

Изгиб прямоугольной пластинки

При решении задач изгиба прямоугольной пластинки (рисунок 9) функцию прогиба w (x, y) находят путем интегрирования бигармонического уравнения изгиба пластинки:

(19)

Как было указано во введении, основная и наиболее трудоемкая часть задачи расчета жесткой пластинки заключается в определении функции w (x,y) как решения бигармонического уравнения Софии Жермен - Лагранжа (19), удовлетворяющего заданной нагрузке и условиям опирания пластинки. Здесь q (x,y) –поверхностная нагрузка на пластинку; – цилиндрическая жесткость пластинки; h – толщина пластинки.

Внутренние усилия (рисунок 10) и напряжения в пластинке связаны с перемещениями следующими зависимостями.

Изгибающие моменты:

(20)

Крутящий момент:

(21)

Поперечные силы:

(22)

Согласно принятой в теории изгиба пластинок гипотезы Бернулли – Кирхгофа о жесткой нормали, напряжения, создающие изгибающие моменты M_x, M_y, определяются по формулам сопротивления материалов:

, (23)

где W = 1· h² /6 – момент сопротивления элемента поперечного сечения пластинки единичной ширины.

Таким образом, если известна функция w (x,y), то, вычислив максимальный прогиб, можно проверить условие жесткости. Далее, определив внутренние усилия по выражениям (20) и (21), можно найти их максимальные значения и по формулам (23) вычислить наибольшие напряжения и дать оценку прочности пластинки.

Уравнение (19) имеет множество решений и для отыскания своего решения необходимо воспользоваться граничными условиями – условиями опирания пластинки.

Запись условий опирания.

В теории пластинок приняты три основных вида опирания – защемление, свободное (шарнирное) опирание и свободный неопертый край.

Пусть левый край пластинки 0-1 с координатами х = 0, 0 ≤ у ≤ b защемлен (рисунок 11). В этом случае граничные условия принимают вид:

1) прогиб w = 0,

2) угол поворота левой грани

Если защемлены верхний или нижний края пластинки, условия опирания имеют аналогичные выражения:

1) прогиб w = 0, 2) угол поворота нижней (верхней) грани

Верхний край 0 - 2 с координатами 0 ≤ x ≤ a, y = 0 шарнирно оперт. Тогда граничные условия записываются как:

1) прогиб w = 0,

Изгибающий момент на грани M_y = 0. Поскольку производная по х на верхней опертой грани второе условие принимает вид:

2) M_y =

Если шарнирно оперты боковые грани, то условия опирания имеют вид:

1) w = 0, 2) M_x =

Пусть нижний край 1-3 (0 ≤ x ≤ a, y = b) неоперт. В этом случае w ≠ 0, а нулю должны быть равны усилия (реакции) на свободном неопертом крае. Т. е.

1) M_y = 0, 2) M_xy = 0, 3) Q_y = 0.

Два последних условия можно объединить в одно и граничные условия примут вид:

1)

2) .

Если неоперты правый или левый край, то граничные условия запишутся как:

1)

2) .