Примерные билеты для проведения экзамена

по математике (геометрия)

Билет № 1

1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые (определение).

2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а сторона основания равна 6 см.

Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Площадь сечения шара плоскостью равна 20 p м2, а расстояние от центра шара до секущей

плоскости равно 4 м. Найдите объем шара.

Билет № 2

1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые (определение).

2. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник, катет которого равен 40 м, а гипотенуза

равна 41 м. Высота пирамиды равна 20 м. Найдите объем пирамиды.

3. На окружностях оснований цилиндра отмечены точки А и В так, что АВ = 10 м, а угол между

прямой АВ и плоскостью основания цилиндра равен 30°. Расстояние от точки А до центра

основания, содержащего точку В, равно 13 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с высотой угол

в 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной, равной 2 p м. Найдите объем

цилиндра.

Билет № 4

1. Параллельность прямой и плоскости (признаки и свойства).

2. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем такой пирамиды.

3. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, а расстояние от центра

основания до образующей равно 3 м. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Билет № 5

1. Перпендикулярность прямой и плоскости (признаки и свойства).

2. Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его объем.

3. На сфере расположены точки А, В и С так, что АВ = 6 м, ВС = 8 м, АС = 10м. Расстояние от

центра сферы до плоскости АВС равно 12 м. Найдите площадь сферы.

Билет № 6

1. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.

2. Прямоугольник, стороны которого равны 2 см и 5 см, вращается вокруг меньшей стороны.

Найдите объем тела вращения.

3. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 13 см, а диагональ основания

равна 10 2 см. Найдите высоту пирамиды.

Билет № 7

1. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Радиус основания цилиндра равен 6 м, а расстояние от центра одного основания до точки

окружности второго основания равно 10 м. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 2 м, боковое ребро равно

13 м. Найдите объем пирамиды.

Билет № 8

1. Параллельность плоскостей (признаки и свойства).

2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 см и 3 см, а диагональ равна 7

см. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

3. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно 6 м.

Билет № 9

1. Перпендикулярность плоскостей (признаки и свойства).

2. Прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 м, а гипотенуза равна 5 м, вращается

вокруг большего катета. Найдите объем тела вращения.

3. Боковое ребро правильной четырехугольной призмы АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 6 3 м, а сторона

основания равна 6 м. Найдите угол между прямыми АВ 1 и CD 1.

Билет № 10

1. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстояние между параллельными плоскостями.

2. Высота конуса равна 8 см, а радиус основания равен 6 см. Найдите площадь боковой

поверхности конуса.

3. Стороны АВ и AD основания прямоугольного параллелепипеда АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 равны 6 м и 8 м,

угол между диагональю АС 1 параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Найдите синус

угла между прямой АС 1 и плоскостью АВВ 1.

Билет № 11

1. Призма, ее основания, боковые ребра, высота. Прямая и правильная призмы.

2. Диагональ куба равна 2 3 м. Найдите площадь его полной поверхности.

3. На расстоянии 9 см от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24 p

см. Найдите объем шара.

Билет № 12

1. Площади боковой и полной поверхностей призмы.

2. Образующая конуса равна 13 м, а радиус основания равен 5 м. Найдите объем конуса.

3. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 27 дм2, а периметр

основания равен 18 дм. Найдите высоту пирамиды.

Билет № 13

1. Параллелепипед. Куб (определения, свойства ребер, граней).

2. Высота конуса равна 6 м, а диаметр основания равен 12 м. Найдите угол между образующей

конуса и плоскостью его основания.

3. Концы бокового ребра правильной треугольной призмы удалены от противолежащей этому

ребру стороны основания на 2 3 м и 4 3 м. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Билет № 14

1. Симметрии в кубе.

2. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите

объем конуса.

3. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости

основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет № 15

1. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота. Правильная пирамида.

2. Секущая плоскость проведена на расстоянии 6 см от центра шара. Радиус сечения равен 8 см.

Найдите объем шара.

3. Четыре ребра прямоугольного параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 равны 6 3 м каждое, а

остальные ребра равны 3 2 м каждое. Найдите угол между прямыми А 1 С и В 1 D.

Билет № 16

1. Правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр).

2. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 4 см, а диагональ

основания равна 6 2 см.

3. Площадь сечения шара плоскостью равна 16 p м2, а площадь параллельного ему сечения,

проходящего через центр шара, равна 25 p м2. Найдите расстояние между плоскостями сечений.

Билет № 17

1. Цилиндр, его основания, образующая, боковая поверхность, высота.

2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды МАВСD с вершиной М равно стороне ее

основания. Найдите угол между прямыми АВ и СМ.

3. Основание прямой призмы – ромб с высотой 2 дм. Площадь боковой поверхности призмы равна

96 дм2, а площадь полной поверхности равна 128 дм2. Найдите высоту призмы.

Билет № 18

1. Конус, его основание, образующая, боковая поверхность, высота.

2. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 3 м, 4 м и 12 м. Найдите сумму длин всех

диагоналей параллелепипеда.

3. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD площадь основания АВСD равна 32 см2, а

площадь треугольника МАС равна 16см2. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Билет № 19

1. Шар и сфера, их сечения.

2. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3 м, а боковое ребро равно 6 м.

Найдите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.

3. Хорда основания цилиндра равна 32 см и удалена от центров его оснований на 12 см и 13 см.

Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Билет № 20

1. Формулы объема призмы, прямоугольного параллелепипеда, куба.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с высотой угол

45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Площадь боковой поверхности конуса равна 60 p м2, а радиус основания равен 6 м. Найдите

расстояние от центра основания до образующей конуса.

Билет № 21

1. Формулы площади поверхности и объема пирамиды.

2. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 м и 12 м,

боковое ребро призмы равно 10 м. Найдите площадь полной поверхности призмы.

3. Расстояние от центра основания конуса до середины образующей равно 4 см, а угол наклона

образующей конуса к плоскости основания равен 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Билет № 22

1. Формулы площади поверхности и объема цилиндра.

2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с

плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3. Угол между диагональю АС 1 прямоугольного параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 и плоскостью

основания АВСD равен 30°, а диагональ боковой грани DС 1 наклонена к плоскости основания под

углом 45°. Высота параллелепипеда равна 3 см. Найдите его объем.

Билет № 23

1. Формулы площади поверхности и объема конуса.

2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 м и 8 м, боковое ребро равно 10

м. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

3. Найдите периметр треугольника АВС, если А (–1; 1; –2), В (20; 1; –2), С (5; 1; 6).

Билет № 24

1. Формулы объема шара и площади сферы.

2. Основание прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 – треугольник АВС, в котором угол C = 90°, АС = 3 см,

ВС = 4 см. Найдите расстояние от прямой СС 1 до плоскости грани АВВ 1 А 1.

3. Радиус основания конуса равен 5 м, а тангенс угла наклона образующей к плоскости основания

равен 2,4. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Билет № 25

1. Прямоугольная система координат в пространстве. Формула для нахождения расстояния между

двумя точками, заданными своими координатами.

2. Площадь сферы равна 100 p м2. Расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно 4 м.

Найдите радиус сечения.

3. Основание пирамиды – ромб, диагонали которого равны 30 см и 40 см. Высоты боковых граней,

проведенные из вершины пирамиды, образуют с высотой пирамиды углы, равные 30°. Найдите

объем пирамиды.

4.Примерные билеты для проведения экзамена

по математике (алгебра и начала анализа)

Билет № 1

1. Понятие возрастающей функции, пример, графическая иллюстрация.

2. Свойства степеней с действительным показателем. Доказательство одной из теорем о свойствах

степеней с рациональным показателем.

3. Решите уравнение: log4 x + log43 = log415.

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 - 3, x = 2, x = 5, y = 0.

Билет № 2

1. Понятие о точках максимума (минимума) функции, пример, графическая иллюстрация.

2. Вывод общей формулы корней уравнения sin x = а.

3. Вычислите: - 5 0,016 × 5 - 0,02.

4. Решите неравенство log2 (2,5 x +1) ≤ -2.

Билет № 3

1. Понятие о степени с рациональным показателем.

2. Основное свойство первообразной, его геометрическая иллюстрация.

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 1 + sin х в

точке с абсциссой x 0 = p.

4. Решите неравенство: log (1,8 3) 1

5 x - £ -.

Билет № 4

1. Понятие убывающей функции, пример, графическая иллюстрация.

2. Показательная функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Точка движется по координатной прямой согласно закону x (t) = 4 t 2 – t, где х (t) – координата

точки в момент времени t. Найдите скорость точки при t = 2.

4. Найдите наименьшее значение функции ÷

ø

ö

çè

= æ -

4 3 sin

p x y, если úû

ù

êë

Îé

; 9

5 p p x.

Билет № 5

1. Основные тригонометрические тождества.

2. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f (x) = 2 – x 2 + 3 x 4 в

точке с абсциссой x 0 = –2.

4. Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции y = 8 5 - 4 x +13.

Билет № 6

1. Понятие производной, ее механический смысл.

2. Вывод общей формулы корней уравнения cos х = а.

3. Упростите выражение: log 3,5

log 14 log 49 7 7 7 + -.

4. Найдите значение функции

2 () 3 ()

3 () 2 ()

g x g x

y f x f x

- -

- -

= в точке 0 x, если известно, что функция у = f (x)

– четная, функция y = g (x) – нечетная, f (x 0) = 5, g (x 0)=1.

Билет № 7

1. Понятие производной, ее геометрический смысл.

2. Вывод общей формулы корней уравнения tgx = a.

3. Вычислите 3 - 0,3 × 3 - 0,09.

4. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = 3cos x - 2 x в

его точке с абсциссой

0 2

x = p.

Билет № 8

1. Понятие синуса числа, пример, графическая иллюстрация.

2. Свойства корней n -й степени. Доказательство одной из теорем.

3. Решите уравнение 0

cos x - 2 =.

4. Найдите множество значений функции y x 0,5 = 7 + log.

Билет № 9

1. Понятие косинуса числа, пример, графическая иллюстрация.

2. Свойства логарифмов. Доказательство одной из теорем (по выбору учащегося).

3. Найдите первообразную функции f (x) = ex – x 3.

4. Решите уравнение 2 x -1 + 2 x -2 + 2 x -3 = 448.

Билет № 10

1. Понятие о первообразной функции.

2. Функция y = tg x, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Решите уравнение log5(8 x) = log527 – log53.

4. Найдите область определения функции

5 6 2

1 1

x x

y

- +

÷ø

ö

çè

= - æ.

Билет № 11

1. Нахождение скорости процесса, заданного формулой.

2. Функция y = sin x, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Вычислите:

log 14 log 32 5 +.

4. Решите уравнение (2 2 1 8)(4 1 5) 0 x - - - x =.

Билет № 12

1. Формула Ньютона – Лейбница.

2. Функция y = cos x, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Упростите выражение

5 7

5 2

t

t.

4. Решите уравнение (30,5 x +7 – 9)log2(5 + 2 x) = 0.

Билет № 13

1. Правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции, пример.

2. Синус и косинус двойного угла.

3. Найдите значение выражения

- c

c при c = 4.

4. Решите уравнение 3 log (4 5) 0

6 2 = + ÷

ø

ö

çè

æ - - x x.

Билет № 14

1. Понятие экстремума функции, пример.

2. Формулы сложения тригонометрических функций и следствия из них. Доказательство одной из

формул и следствия из нее.

3. Упростите выражение: 7 314 a 7.

4. Решите уравнение 2 – log4(x + 3) = log4(x + 3).

Билет № 15

1. Понятие четной функции, пример, графическая иллюстрация.

2. Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции.

3. Найдите значение выражения:

0,5

0,5

0,5

-

+

+ y

y

y

y при y = 18.

4. Решите уравнение log2(9 х –1 + 7) = 2log2(3 х –1 + 1).

Билет № 16

1. Понятие тангенса числа.

2. Степенная функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств.

3. Упростите выражение (cos x – sin x)2 + 2sin x cos x.

4. Решите неравенство log log (9) 0 0,8 0,8 x + x + ³.

Билет №17

1. Основные тригонометрические тождества.

2. Правила вычисления первообразных. Доказательство одного из правил.

3. Решите неравенство ()() 0

1 5 3

5 £

- +

+

x x

x.

4. Найдите длину промежутка возрастания функции

() 52 +

=

x

f x x.

Билет № 18

1. Логарифм числа, пример.

2. Таблица первообразных элементарных функций.

3. Решите уравнение 7 ∙ 3 x +3 + 3 x +2 = 22.

4. Найдите наибольшее значение функции ÷

ø

ö

çè

= æ -

4cos

p x y на промежутке úû

ù

êë

é

;17

5 p p

.

Билет № 19

1. Формулы приведения, примеры.

2. Теорема о производной суммы двух функций.

3. Упростите выражение

log 75

log 35 5 5 +.

4. Решите уравнение (10 46 1000)12 3 15 2 x - - - x - = 0.

Билет № 20

1. Десятичный и натуральный логарифмы, число e.

2. Достаточные условия возрастания функции.

3. Решите уравнение 3 x + 4 = x.

4. На рисунке изображен график функции y

= f (x), заданной на промежутке (–3; 6). Укажите

множество значений этой функции.

Билет № 21

1. Понятие котангенса числа, пример.

2. Таблица производных элементарных функций (степенной, синуса, косинуса). Доказательство

одной из формул.

3. Найдите значение выражения 6 × 4,5log4,5 9.

4. Найдите наибольшее значение функции ÷

ø

ö

çè

= æ +

4 cos

p x y на промежутке úû

ù

êë

é

; 3

7 p p

.

Билет № 22

1. Понятие нечетной функции, пример, иллюстрация на графике.

2. Производная показательной функции.

3. Решите уравнение 2sin x = –1.

4. Найдите множество значений функции y = 3 + log5(5– x) на промежутке [–1; 3].

Билет № 23

1. Понятие степени с рациональным показателем.

2. Касательная. Вывод уравнения касательной к графику дифференцируемой функции в данной

точке.

3. Решите уравнение () 3

cos sin = ÷

ø

ö

çè

- x - æ + x p

p.

4. Найдите наименьшее значение функции y = 5 + log2(2 x) на отрезке [–3;1].

Билет № 24

1. Понятие периодической функции, пример, иллюстрация на графике.

2. Достаточные условия убывания функции.

3. Найдите значение cosα, если

sin a = 2 и úû

ù

êë

Îé p

p

a;

.

4. Решите уравнение 3 log (4 5) 0

6 2 = - ÷

ø

ö

çè

æ - - x x.

Билет № 25

1. Логарифм числа, пример. Формула перехода к новому основанию логарифма.

2. Достаточные условия существования максимума (минимума) функции.

3. Решите уравнение 2cos x – 1 = 0.

4. Найдите промежутки возрастания функции y = ex – x.