Тема 1. Прямые и плоскости в пространстве

Геометрические тела и их элементы.

Задачи:

1. Длины трёх ребёр, выходящих из одной вершины

прямоугольного параллелепипеда, равны 2, 3 и 6 дм. Найдите

длину диагонали параллелепипеда.

2. Основания прямого параллелепипеда – ромб со стороной 6 см

и углом 600. Высота параллелепипеда равна 8 см. Найдите

длину меньшей диагонали параллелепипеда.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна

6 ´ 3 см, а боковое ребро – 10 см. Найдите высоту пирамиды.

4. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 16 см, а

двугранный угол при ребре основания 600. Найдите сторону

основания пирамиды.

5. Образующая конуса равна 6, а угол при вершине осевого

сечения равен 600. Найдите диаметр основания.

6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 7 и 24, а

высота 8. Найдите площадь его диагонального сечения.

7. В правильной треугольной пирамиде через середину трёх

боковых рёбер проведено сечение. Найдите его площадь, если

ребро основания пирамиды равно 24.

8. Высота цилиндра равна 6 см, радиус его основания 6 см.

Найдите площадь сечения проведённого параллельно оси

цилиндра на расстоянии 4 см от неё.

9. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной

основанию и проходящей через середину высоты, если радиус

основания конуса 10 см.

10. В шаре радиуса 26 см на расстоянии 10 см от центра

проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения.

Математика.Подготовка к экзамену.

Задачи для обязательного решения по темам геометрии.

Тема 1. Прямые и плоскости в пространстве.

1. Треугольники ABC и ABD лежат в различных плоскостях. Точки A1 и B1 – середины отрезков

AC и BC. Докажите, что прямая A1B1 параллельна плоскости ABD.

2. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AB, пересекает сторону AC в точке

K, а сторону BC в точке M. Докажите, что прямая KM параллельна прямой AB. Найдите

длину отрезка AB, если KC=12 см, AC=18 см, KM=36см.

3. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, H – соответственно середины

отрезков AB, AC,AD. Докажите, что плоскости BCD и EFH параллельны.

4. Две параллельные плоскости α и β пересекают сторону AB угла ABC в точках D и D1, а

сторону BC – в точках E и E1. Найдите длину отрезка DE, если BD=12 см, BD1=18 см,

D1E1=54 см.

5. Через данную точку проведите плоскость, параллельную данной плоскости.

6. Даны параллельные плоскости. Через точки A и B одной из них проведены параллельные

прямые, пересекающие вторую плоскость в точках A1 и B1. Докажите, что четырёхугольник

ABB1A1 – параллелограмм.

7. Через данную точку прямой проведите плоскость, перпендикулярную данной прямой.

8. Даны прямоугольник ABCD и точка E вне его плоскости. Прямая AE перпендикулярна

прямым AB и AD. Докажите, что AE перпендикулярна прямой AC. Найдите длину отрезка

CE, если AB=4 см, AD=3 см, AE=6 см.

9. Из центра O правильного треугольника ABC со стороной 3 3 см проведен перпендикуляр OD

к его плоскости длиной 4 см. Найдите расстояния от точки D до вершин треугольника.

10. Отрезок длиной 10 см своими концами упирается в две параллельные плоскости, расстояние

между которыми равно 8 см. Найдите его проекции на эти плоскости.

11. Из центра O квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости проведен перпендикуляр OM

длиной 12 см. Найдите площадь треугольника ABM.

12. Для установки мачты телевизионной антенны использованы три троса одинаковой длины,

которые крепятся к мачте на высоте 16 м от земли. Определите длину тросов, если их концы

закреплены на земле на расстоянии 20 м от основания мачты.

13. Точка A отстоит от плоскости на расстоянии 18 см. Найдите длину наклонной, проведенной

из этой точки под углом 600 к данной плоскости.

14. Из точки O пересечения диагоналей квадрата ABCD проведен перпендикуляр OM к его

плоскости. Докажите, что MA, MB, MC и MD наклонены к плоскости квадрата под одним

углом.

15. Стороны прямоугольника ABCD равны 24 и 10 см, AM – перпендикуляр к его плоскости.

Прямая MC наклонена к плоскости прямоугольника под углом 300. Найдите длину

перпендикуляра AM.

16. Угол C треугольника ABC – прямой, AD – перпендикуляр к плоскости ABC. Докажите, что

треугольник DBC – прямоугольный.

17. Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника ABC и имеет длину 12 см. Найдите

расстояние от точки M до прямой BC, если AB=AC=20 см. BC=24 см.

18. Точка A находится на расстоянии 12 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей.

Найдите расстояние от этой точки до линии пересечения плоскостей.

19. Даны векторы a r (1; 3; 2), b

r

(3; -1; 0), c r = AB, где A(1; 2; 2), B(-1; 0; 1). а) Найдете координаты

вектора 2 a - b. б) Коллинеарны ли векторы a r + b

r

и c r? в) Найдите скалярное произведение

векторов a r и b

r

. г) Перпендикулярны ли векторы a r и b

r

? Найдите длину вектора - 2 a r и угол,

который он образует с осью x.

20. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку (1; -3; 2) перпендикулярную вектору

OA, где O – начало координат.

21. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 и 17 см. Разность проекций этих

наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.

22. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 26 см больше другой.

Проекции наклонных равны 12 и 40 см. Найдите наклонные.

23. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 и 33 см. Найдите расстояние от

этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

24. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от неё на 0,3 и 0,5 м. Как

удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3:7?

25. Точки A и B расположены по одну сторону плоскости; AC и BD – перпендикулярны на эту

плоскость; AC=3 м; BD=2 м и CD=24 дм. Найдите расстояние между точками A и B.

26. Отрезок AB пересекает плоскость в точке O; AB=12 см; концы его удалены от плоскости на 1

и 3 см. Найдите AO и OB.

27. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра

вписанного круга к плоскости треугольника восставлен перпендикуляр длиной 2 м. Найдите

расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

28. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на

расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равных расстояниях от его вершин. Найдите

эти расстояния.

29. Через вершину прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость,

параллельная гипотенуза, на расстоянии 1 м от неё. Проекции катетов на эту плоскость равны

3 и 5 м. Найдите гипотенузы.

30. Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной 2 м. Найдите

расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 600, а их проекции

перпендикулярны.

31. Отрезок AB параллелен плоскости; AB=a. Отрезок AB1, соединяющий точку A с проекцией

точки B на плоскость, образует с AB угол 600. Найдите расстояние от AB до плоскости.

32. Концы отрезка длиной 10 дм принадлежат двум параллельным плоскостям, расстояние между

которыми 8 дм. Найдите проекцию отрезка на каждую из этих плоскостей.

33. Точка F равноудалена от всех вершин ΔABC, FO ^ пл. ΔABC. Найдите FA, если AB=15 см,

BC=20см, высота BD=12 см, FO=30 см.

34. Плоскости α и β параллельны. Из точек A и B плоскости α проведены к плоскости β

наклонные AC=37 см и BD=125 см. Проекция наклонной AC на одну из плоскостей равна 12

см. Чему равна проекция наклонной BD?

35. Точка N равноудалена от всех вершин ΔABC, NO ^ пл. ΔABC. Найдите NA, если BA=BC=30

см, AC=48 см, NO=60 см.

36. Точка M равноудалена от всех вершин ΔABC, MO ^ пл. ΔABC. Найдите MA, если BA=BC;

AB=4 см; высота BD=4 см; MO=6 см.

37. Точка L равноудалена от всех вершин ΔABC, LO ^ пл. ΔABC. Найдите LA, если AB=13 дм;

BC=14 дм, CA=15 дм, LO=19,5 дм.

38. Из точки, отстоящей от плоскости на a, проведены две наклонные, образующие с плоскостью

углы 450 и 300, а между собой – прямой угол. Найдите расстояние между основаниями

наклонных.

39. К плоскости правильного треугольника ABC из вершины A проведен перпендикуляр AD,

равный 12 см. Точка В удалена от стороны BC на 13 см. Вычислите площадь треугольника

ABC.

40. Из точки, отстоящие от плоскости на a, проведены две наклонные под углом 300 к плоскости,

причем их проекции составляют между собой угол 1200. Найдите расстояние между

основаниями наклонных.

41. Точка K равноудалена от всех вершин ΔABC, KO ^ пл. ΔABC. Найдите KA, если BC=BA=a;

ÐABC=1200; KO=(3 4)a.

42. Сторона правильного треугольника равна 3 см. Найдите расстояние от его плоскости до

точки, отстоящей от каждой из его вершин на 2 см.

43. Концы отрезка длиной 6 см удалены от плоскости на 5 и 3 см. Найдите проекцию отрезка на

плоскость и угол между отрезками и плоскостью.

44. Через точку пересечения диагоналей ромба к его плоскости восставлен перпендикуляр,

равный 2 см. Вычислите расстояние концов перпендикуляра до сторон ромба, если диагонали

ромба равны 12 и 16 см.

45. Из вершины A прямоугольника ABCD восставлен перпендикуляр AK к его плоскости,

расстояния от конца K которого до других вершин равны 6, 7 и 9 м. Найдите длину

перпендикуляра AK.