Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть

Найти у'_х.

Решение: Имеем x'_t=3t², y'_t=2t. Следовательно, у'_х=2t/t², т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, Тогда Отсюда т. е.

30) Дифференциал функции

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестности функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x ₀ + Δ x эту бесконечно малую функцию можно отбросить:

Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть Поэтому пишут:

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

31) Исследование функции при помощи первой производной

Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из

следующих числовых промежутков:, или. Заметьте, что внутри

интервала нет выколотых точек. Таким образом, если, то.

Определение 1.1. Говорят, что функция строго монотонно возрастает в интервале,

если при всех таких, что, т.е. бóльшим значениям

независимой переменной соответствуют бóльшие значения функции. Далее, строго

монотонно убывает в, если при.

В дальнейшем, говоря, что возрастает (или убывает) на, мы будем иметь в виду

возрастание (убывание) в строго монотонном смысле.

Теорема 1.2 (признак возрастания функции). Дифференцируемая функция

возрастает в интервале, если для всех.

Доказательство: Пусть и — любые две точки в такие, что. Надо

доказать, что. По теореме Лагранжа, примененной к функции на отрезке

, существует точка такая, что,

откуда, потому что и. ■

Теорема 1.3 (признак убывания функции). Дифференцируемая функция убывает в

интервале, если для всех.

Доказательство: Аналогично доказательству предыдущей теоремы. ■

Пример 1.4. Определить промежутки возрастания и убывания функции

.

Рис. 1. Диаграмма возрастания и убывания функции.2

Решение:. Исследование представлено

диаграммой на рис. 1, где плюсы и минусы означают знаки производной, а стрелки —

возрастание или убывание данной функции на соответствующих интервалах. ■

Следствие 1.5 (признаки максимума и минимума в терминах первой производной).

Пусть — критическая точка дифференцируемой функции, т.е..

а) Если меняет знак в точке с плюса на минус, то — локальный

максимум.

б) Если меняет знак в точке с минуса на плюс, то — локальный

минимум.

в) Если не меняет знак в точке, то локального экстремума в точке не

имеет. ■

Пример 1.6. Найти локальные экстремумы функции из примера 1.4.

Решение: В силу предыдущей теоремы, из диаграммы на рис. 1 видно, что значения

и являются локальными минимумами, а локальным

32)
Формула Тейлора