Свойства векторного произведения

П р и м е р. Даны векторы: a = (1, 2, 3) и b = (– 2, 0,4).

Вычислить их скалярное и векторное произведения и угол

между этими векторами.

Р е ш е н и е. Используя соответствующие формулы (см. выше), получим:

a). скалярное произведение:

(a, b) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10

12) Определение смешанного произведения.

Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве.

Определение.

Смешанным произведением трех векторов и называется действительное число, равное скалярному произведению векторов и , где - векторное произведение векторов и .

Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением.

Смешанное произведение векторов и обычно обозначают . В таких обозначениях по определению смешанного произведения .

13)

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат. Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу мас­штаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения О - началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Ох), другую — осью ординат (осью Оу) (рис. 23). На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти (или квадранты). Единичные векторы осей обозначают i и j (| i |=| j |=1, ). Систему координат обозначают Оху, а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью. Рассмотрим произвольную точку Μ плоскости Оху. Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. ОМ называется радиусом-вектором точки М. Координатами точки Μ в системе координат Оху называ­ются координаты радиуса-вектора OM. Если OM=(x;y), то координаты точки Μ записывают так: М(х;у), число x называется абсциссой точки М, у — ординатой точки Μ. Эти два числа x и y полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел x и y соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот. Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, на­зываемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки.e того же направления, что и луч Ор. Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием г от полюса О и углом φ, образован­ным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведет­ся в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24). Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут М(r; φ), при этом r называют полярным радиусом, φ — полярным углом. Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (—π; π] (или 0< φ < 2πr), а полярный радиус — [0;∞). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно. Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось — с положительной полуосью Ох. Пусть x и у — прямоугольные координаты точки М, а r и φ — ее полярные координаты. Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом: Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами Определяя величину φ, следует установить (по знакам x и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -π < φ< π.

14)Уравнение прямой на плоскости

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

15)Линии второго порядка на плоскости

Основные понятия

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

(11.1)

Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.