Распределение Фишера

Пусть x ²(k ₁) и x ²(k ₂) — независимые случайные величины. Распределение случайной величины

называют распределением Фишера с k ₁ и k ₂ степенями свободы. Для обозначения этого распределения используют символ F (k ₁, k ₂), т.е. пишут: X ~ F (k ₁, k ₂). Обычно и сама случайная величина X обозначается тем же символом, т.е. X = F (k ₁, k ₂).

Перечислим важные свойства распределения Фишера.

1. Функция плотности распределения вероятностей:

где	— гамма-функция.

2. Основные числовые характеристики:

, k 2 > 2; , k 2 > 4.

3. Квантили F_p (k ₁, k ₂) распределения F (k ₁, k ₂) содержатся в справочниках в виде таблиц

При k ₁, k ₂ >> 1 для вычисления квантилей F_p (k ₁, k ₂) можно использовать приближённую формулу

(10.8)
где	up — квантиль порядка p распределения N (0,1).

Важное свойство квантилей распределения Фишера состоит в том, что

(10.9)

, p Î (0;1).

Оно позволяет в таблицах квантилей приводить значения F_p (k ₁, k ₂) только для p ³ 0,5.

Пусть X ~ F (k ₁, k ₂). Из определения распределения Фишера следует, что в этом случае . Из того же определения видно, что X ³ 0. Поэтому для квантили F_p (k ₁, k ₂) порядка p Î (0;1) справедливо неравенство F_p (k ₁, k ₂) > 0. Отсюда следует, что при X ¹ 0 неравенства X < F_p (k ₁, k ₂) и эквивалентны. С учётом сказанного, можно записать:

	или
	.

Поскольку , последнее равенство означает, что число есть квантиль порядка 1 - p распределения F (k ₁, k ₂), т.е. что . Отсюда и следует доказываемое свойство.