Пример. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Построить регрессии Y на x и X на y.

Решение. Найдем законы распределения компонент X и Y:

Построим вначале регрессию Y на x.

1) , , , отсюда .

2) , , , отсюда .

3) , , , отсюда .

Графическое изображение регрессии Y на x показано на (рис.8.9).

Рис. 8.9. Графики линий регрессии

Построим теперь регрессию X на y.

1) , , , отсюда .

2) , , , отсюда .

3) , , , отсюда .

Графическое изображение регрессии X на y показано на (рис. 8.10).

Рис. 8.10. Графическое изображение регрессии X на y

Для наглядности значения условного математического ожидания на (рис. 8.9) и (рис.8.10) соединены отрезками прямых.

Замечание 1. Для независимых случайных величин линии регрессии Y на x и X на y параллельны координатным осям, т.к. математическое ожидание каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина. Линии регрессии могут быть параллельны координатным осям и для зависимых случайных величин, если только математическое ожидание каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина.

Замечание 2. По аналогии с условными математическими ожиданиями можно рассматривать условные моменты. Например, условные дисперсии , и т.д.