Пример. Закон распределения случайного вектора (X;Y) задан таблицей:

Закон распределения случайного вектора (X; Y) задан таблицей:

Описать условные законы распределения: 1) случайной величины X при условии Y = 1; 2) случайной величины Y при условии X = -1.

Решение. Найдем безусловные законы распределения компонент X и Y:

1) Условные вероятности случайной величине X принять значения x_i (i = 1, 2, 3) при условии Y = 1 вычисляются по формулам:

Тогда условный закон распределения случайной величины X при условии Y = 1 имеет вид:

X	-1			Контроль:
P{ X = xi | Y = 1}

2) Условные вероятности случайной величине Y принять значения y_j (j = 1, 2) при условии X = -1 вычисляются по формулам:

Тогда условный закон распределения случайной величины Y при условии X = -1 имеет вид:

Y			Контроль:
P{ Y = yj | X = -1}

В общем случае условную функцию распределения случайной величины X при условии Y = y также естественно было бы определить формулой

(8.27)

Однако это не всегда возможно (например, для непрерывной случайной величины Y событие { Y = y } имеет нулевую вероятность). Во избежание этих неприятностей, вместо события { Y = y } рассматривается событие { y £ Y < y + D} и D устремляется к нулю. Тогда

(8.28)

Тогда условной функцией распределения F_X (x | Y = y) называется предел

(8.29)

Оказывается, такой предел всегда существует. Аналогично

(8.30)

Если случайная величина Y непрерывна, то условную функцию распределения можно определить следующим выражением:

(8.31)

Аналогично

(8.32)

В наиболее важных для приложений случаях вектор (X; Y) представляет собой двумерную непрерывную случайную величину с совместной плотностью f_X,Y (x,y). Тогда

(8.33)

, .

Нетрудно видеть, что условная функция распределения F_X (x | Y = y) имеет производную по x, т.е. существует условная плотность распределения случайной величины X при условии Y = y:

(8.34)

Аналогично

(8.35)