Пример. Два орудия залпом стреляют по цели до первого попадания хотя бы одним орудием

Два орудия залпом стреляют по цели до первого попадания хотя бы одним орудием. Вероятность попадания каждого равна 0,6. Найти а) закон распределения случайной величины Х, равной числу залпов; б) найти математическое ожидание m; в) вычислить P(X < m).

1. Пусть события A_i и B_i — попадание в цель соответственно первым и вторым орудием при і –м выстреле A_i и B_i — промахи.

Найдем закон распределения случайной величины X — числа залпов.

X = 1, если оба орудия попадут, или попадет первое, а второе даст промах, или попадет второе, а первое даст промах.

p ₁ = P (X = 1) = P (A ₁ B ₁ + A ₁ B ₁ + A ₁ B ₁) = 0,6 × 0,6 + 0,4 × 0,6 + 0,6 × 0,4 = 0,84.

X = 2, если оба орудия при первом залпе промахнутся, а при втором залпе оба орудия попадут, или попадет первое, а второе даст промах, или попадет второе, а первое даст промах.

p ₁ = P (X = 2) = P (A ₁ B ₁ A ₁ B ₁ + A ₁ B ₁ A ₁ B ₁ + A ₁ B ₁ A ₁ B ₁) = 0,4 × 0,4 × 0,6 × 0,6 + 0,4 × 0,4 × 0,6 × 0,4 + 0,4 × 0,4 × 0,4 × 0,6 = 0,0576 + 0,0384 + 0,0384 = 0,1344 = 0,84 × 0,16.

Аналогично получим

p_k = P (X = k) = 0,84 × 0,16 ^{k - 1}

Искомый закон распределения дискретной случайной величины X — числа залпов:

Проверка сумма должна быть равна 1, приведенная сумма вычисляется как сумма геометрической прогрессии: = 0,84 / (1 - 0,16) = 1.

2. По определению математического ожидания имеем:

M (X) = k × 0,84 × 0,16 ^{k -1} = 1 × 0,84 + 2 × 0,84 × 0,16 + 3 × 0,84 × 0,16² + … + k × 0,84 × 0,16 ^{k -1} +… = 0,84 × (1 + 2 × 0,16 + 3 × 0,16² + … + k × 0,16 ^{k -1} +… = (0,84 / (1 - 0,16)² = 1 / 0,84 = 1,19.

3. P (X < M (X)) = P (X < 1,19) = P (X = 1) = 0,84 = — найдено в п. 1 (вероятность того, что будет 1 залп).