Метод классического анализа

Пусть целевая функция является непрерывной дифференцируемой функцией

. (2.4)

Необходимые условия экстремума:

, . (2.2)

Решением этой системы уравнений определяют точки , соответствующие «подозрительным» экстремумам.

Чтобы сформировать достаточные условия рассмотрим матрицу вторых производных в точке (матрицу Гессе)

;

. (2.6)

Поскольку

,

матрица Гессе симметрична относительно главной диагонали.

Обозначим определители диагональных миноров матрицы (2.6) через Δ₁, Δ₂,…, Δ_n

;

;

и т.д.

В общем случае определитель Δ_к имеет вид:

. (2.7)

Чтобы установить тип экстремума достаточно определить знаки диагональных миноров (условие Сильвестра).

В точке функция имеет минимум, если

, , (2.8)

или максимум, если

, . (2.9)

Если же условия (2.8) и (2.9) не выполняются, но все определители Δ_к, , отличны от нуля (Δ_к ≠0, ), то в исследуемой точке функция не имеет экстремума. При обращении в нуль хотя бы одного из определителей Δ_к тип экстремума неопределён, вопрос о наличии экстремума в исследуемой точке решается сложнее, с использованием производных более высокого порядка.

На практике обычно используют лишь необходимые условия – условия первого порядка совместно с некоторыми физическими соображениями, относящимися к конкретной задаче, ввиду сложности проверки достаточных условий – условий второго порядка.

В отдельных случаях может оказаться эффективным непосредственное вычисление в окрестности стационарных точек, где выполняются необходимые условия.

Эффективно использовать методы исследования функции – классического анализа когда относительно просто можно найти аналитическое выражение критерия оптимальности. Применение этих методов оказывается так же полезным при предварительном анализе и более сложных задач в первоначальном, относительно грубом приближении. Поэтому эти методы не теряют своего значения в теории оптимальных процессов по мере дальнейшего его развития.

Date: 2015-05-23; view: 674; Нарушение авторских прав