Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Числовые ряды





Пусть и1, и2, … , иn, …, где иn= f(n) – бесконечная числовая последовательность. Выражение

 

и1+ и2+ и3 + …+ иn+ …

называется бесконечным числовым рядом, а числа и1, и2 , … , иn членами ряда ; иn = f(n) – называется общим членом. Ряд часто записывают в виде:

Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд и1+ и2+ и3 + …+ иn+ … сходится, то т.е. при n→∞ предел общего члена сходящегося ряда равен нулю. Таким образом, если то ряд расходится.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

 

и1+ и2+ и3 + …+ иn+ … (1)

σ1+ σ2+ σ3 + …+ σn+ …, (2)

 

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. иn≤ σn (n = 1, 2, 3, …). Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

 

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Признак Коши. Если для ряда (1) существует то этот ряд сходится при С < 1 и расходится при С > 1.

Признак Даламбера . Если для ряда (1) существует то этот ряд сходится при Д <1 и расходится при Д >1.

 

Интегральный признак. Если f(x) при х ≥ 1 – непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где иn=f(n), сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл (N ≥1).

 

 

Знакопеременные ряды

 

Ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, называют знакочередующимися:

 

и1- и2+ и3 – и4+ …+(-1)n+1 иn+ …,

 

где un>0 (n = 1, 2, 3, …).

 

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина его членов монотонно убывает, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняется следующее условие:

 

1) и1> и2> и3 > …



и

2)

 

Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда;

а)

б)

Решение

а) применим признак Даламбера. Выпишем n-ый и (n + 1) – ый члены ряда:

 

Тогда

и данный ряд сходится.

б) Применим интегральный признак: ; следовательно, - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция при х ≥ 1 и

 

Данный интеграл – сходящийся, поэтому сходится и исследуемый ряд.

 








Date: 2015-04-23; view: 501; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.013 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию