![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
V. Неопределенный и определенный интегралы
Для справок приводим таблицу неопределенных интегралов. Интегрирование, основное на применение таблицы основных интегралов, основных свойств неопределенного ∫ - ла, а также простейших тождественных преобразований подынтегральной функции, принято называть непосредственным интегрированием. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Пример 1. Найти интегралы: а) Решение. а) Применяя табличные интегралы, получим:
б) Преобразуем подынтегральную функцию и представим заданный интеграл в виде суммы двух других, каждый из которых табличный:
в) Чтобы привести данный интеграл к табличному, выразим стоящую в числителе единицу как sin2x + cos2x и разделим почленно на знаменатель:
Если данный интеграл
Пример 2. Найти интегралы, применяя соответствующие подставки: а)
Решение. а) Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим t = x2 + 1. Дифференцируя, получим dt = 2xdx, xdx = б) Пусть t = arcsin x, тогда
в) Так как cosxdx есть дифференциал функции sin x, то данный интеграл приводится к табличному так: Пусть u и d (u Проинтегрировав обе части последнего равенства, получим:
Эта формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Ей пользуются в тех случаях, когда
Пример 3. Найти интегралы: Решение. а) Пусть u = х и dσ = e2xdx, тогда du = dx и σ = Произвольную потоянную С можно учесть в окончательном ответе. Применяя (1), получаем: б) Пусть u = arc sin x, dσ = dx, тогда +
Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:
I. III. IV. Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а – действительные числа. Перечисленные дроби соответственно называют соответственно дробями I, II, III и IV типов. Рассмотрим интегралы от простейших дробей I, II, III типов: I. II. III. IV.
Пример 4. Найти интегралы: Решение. а) Данная дробь – правильная, ее знаменатель разложен на простейшие множители. Множителю (х – 1)3 соответствует сумма трех простейших дробей Освободимся от знаменателя: х2 + 1 = А(х + 3) + В(х – 1)2(х + 3) + С(х – 1)2(х+3)+ D(x – 1)3 (*)
Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и –3. Полагая в (*) х = 1, получаем, что 2 = 4А или А= Полагая в (*) х = -3, получаем, что 10 = - 64 D или D = Сравним теперь коэффициенты при старших степенях х в левой и правой частях (*), т.е. при х3. В левой части равенства (*) нет члена с х3, т.е. коэффициент при х3 равен 0. В правой части коэффициент при х3 равен С + D. Итак, С + D = 0, откуда C = Остается определить коэффициент В. Для этого надо иметь еще одно уравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при х2) или придав х какое-нибудь числовое значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая х = 0, получаем из равенства (*): 1 = 3А – 3В + 3С – D или Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид: Таким образом, получим:
б) Разложим знаменатель дроби на множители: х5 – х2 = х2(х3 - 1) = х2(х – 1) (х2 + х + 1). Тогда
Освобождаемся от знаменателя: 1 = А(х – 1)(х2 +х + 1) + В(х – 1)(х2 + х + 1)х + С х2(х2 + х + + 1) + (Dx + E) x2 (x – 1). Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1. Из последнего равенства при х = 0 имеем 1 = -А, т.е. А = -1; при х = 1, имеем 1 = 3С, т.е. С = Перепишем предыдущее равенство в виде: 1 = А(х3 – 1) + В(х4 – х) + С(х4 + х3 + х2) + Dx4 +Ex3 –Dx3 – Ex2. Сравнивая коэффициенты при х4, х3, х2, получаем систему уравнений
Итак, Следовательно, в) Так как х2 + 1 есть двукратный множитель, то
х3: 1 = С, х2: 0 = D, х: -2 = А + С, А = -3, х0: 0 = В + D, В = 0.
Следовательно,
г) Выделим целую часть данной неправильной дроби, поделив числитель на знаменатель:
Следовательно, Разложим теперь правильную дробь на простейшие дроби: Освободимся от знаменателей: 8х3 – 16х + 1 = А(х + 2)2+ В(х – 2)(х + 2)2+С(х – 2)2+D(х + 2)(х – 2)2. Принимая в последнем равенстве: х = 2: 33 = 42 А, откуда А= х = -2: -31 = 16 С, откуда С= - х =0: 1 = 4А – 8В + 4С + 8D, откуда –16В + 16D = 1. Для того, чтобы найти В и D, сравнив коэффициенты при х3, получим еще одно уравнение: 8 = В + D. Решим получившуюся систему уравнений: Находим, что Итак, Пример 5. Вычислить приближенное значение определенного интеграла Решение. Приближенные методы интегрирования имеют очень большое значение. На практике часто приходится иметь дело с определенными интегралами, которые с помощью формулы Ньютона – Лейбница или искусственными приемами найти практически невозможно. В этом случае значение интеграла
где n – четное число, на которое разбивается отрезок интегрирования, В данном примере n = 10, а = 2, в = 12, то
Составим таблицу значений данной функции
4 411,696
80,147 2 160,294.
Окончательно получаем: Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.
Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от а до + ∞ определяется равенством:
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл (3) называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся. Аналогично:
Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [ a; в ] и непрерывна при а ≤ х <с и с < х ≤ в, то по определению полагают:
Несобственный интеграл
Пример 6. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) Решение. а) Применяя равенство (3), получаем: следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл расходится.
б) Применяя равенство (4), получаем:
в) Подынтегральная функция
Применяя равенство (6), получаем: следовательно, данный интеграл сходится и он равен 6.
Date: 2015-04-23; view: 813; Нарушение авторских прав |