Введение в матаматический анализ

Пример 1. Дано комплексное число , требуется:

2) записать число а в алгебраической и тригонометрической формах;

3) найти все корни уравнения z³ + a = 0, .

Решение.

1) Комплексным числом называется выражение

z = a + вi (1)

где а и в, действительные числа, а i – мнимая единица, которая определяется равенством i²=-1, ; а – действительная часть числа z, в – мнимая часть числа z. Равенство (1) называется алгебраической формой записи. Числа а + вi и а – вi, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными комплексными числами. Умножим число а на множитель, сопряженным знаменателем:

Таким образом, имеем: - алгебраическая форма записи комплексного числа а.

Всякое комплексное число z = a + вi можно изобразить на плоскости хОу, в виде точки А(а; в); - начало его в точке О(0; 0), а конец в точке А(а; в).

Точками, лежащими на оси Ох, соответствуют действительные числа (в=0).

Если же точка расположена на оси Оу, то она изображает чисто мнимое число, так как а=0. Поэтому ось Оу называют осью мнимых чисел или мнимой осью, а ось Ох – действительной осью.

Рис 1.

Исходя из рис.2 a = r cosφ, в = r sinφ, где r и φ – полярные координаты точки А(а; в). Тогда тригонометрическая форма записи числа запишется в следующем виде:

или (2)

Величины r и φ выражаются через а и в формулами

где - модуль, φ = arg z – аргумент комплексного числа z, который определяется с точностью до 2πk, k = 0, 1, 2, …

Для данного комплексного числа

Таким образом, - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

2) Представим уравнение в виде или тогда , т.е. задача сводится к вычислению всех значений

Корень n – ой степени из комплексного числа z = r (cos φ + i sin φ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле

(3)

где - арифметическое значение корня, а число k пробегает значения 0, 1, 2, …, n - 1.

Запишем выражение - в виде где

Можно считать, что угол φ принадлежит 3-й четверти; φ = 270˚-α, где α - угол в 1-ой координатной четверти. Имеем тогда

угол

Итак,

Придавая k последовательно значения 0, 1, 2, получим соответственно числа z₁, z₂, z₀.

Пример 2. Если известен график функции у = f(x), то график функции вида у = kf(mx + b) + a можно построить последовательным преобразованием графика функции у = f(x).

Покажем, например, как с помощью таких преобразований можно построить график функции у = -2sin(2x + 2), исходя из известного графика функции у = sinx. От функции у = sinx к функции у = - 2sin(2x + 2) можно перейти с помощью следующей цепочки преобразований:

y₁ = sin2x₁, y₂ = - 2sin2x₂,

Y = - 2sin2(X + 1) = - 2sin(2X + 2).

Геометрически это приводит к следующим построениям (рис.2):

1) Строим одну волну синусоиды у = sinx; .

2) Отмечаем на синусоиде несколько точек и уменьшаем в два раза их абсциссы, не изменяя ординат; таким образом мы отображаем точку (х; у) и точку (х₁; у₁), где х₁ = х/2, у₁ = у. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции у₁ = sin2x₁, являющийся результатом «сжатия» графика функции у = sinx к оси Оу в два раза.

3) Увеличиваем ординаты точек, построенных в предыдущем пункте в два раза, а затем меняем их знаки на противоположные, не изменяя абсцисс; таким образом отображаем точку (х₁;у₁) в точку (х₂; у₂), где у₂ = - 2у₁, х₂ = х₁. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции у₂ = - 2sin2x₂, являющейся результатом «растяжения» графика функции у₁ = sin2x₁ от оси Ох в два раза с последующим зеркальным отражением графика от оси Ох.

4) Переносим точки, построенные в предыдущем пункте, на –1 в направлении оси Ох (т.е. на единицу влево); таким образом мы отображаем точку (х₂; у₂) в точку (Х; Y), где Х = х₂ - 1, Y = у₂. Соединив полученные точки плавной линией, получим график функции Y = -2sin 2(X + 1) = - 2sin (2X + 2), являющийся результатом «сдвига» графика функции у₂ = - 2sin 2х₂ на –1 в направлении оси Ох. Искомый график функции у = - 2sin (2x +2) построен.

Рис. 2.

Пример 3. Найти пределы функции не пользуясь правилом Лопиталя:

Решение.

а) Под знаком предела имеется дробная рациональная функция и при х→∞ получается неопределенность вида . Чтобы найти предел дробной рациональной функции при х→∞, необходимо предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на хⁿ, где n – наивысшая степень многочленов Р(х) и Q(x). Разделим числитель и знаменатель данной дроби на х² и применим основные теоремы о пределах и свойствах бесконечно малых величин:

б) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента х=2 приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

в) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента х=0 приводит к неопределенности . Известно, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной.

Так как при х→∞ ln(1 + x)~ x, tg x ~ x, то ln(1 + 3x sin x) ~3x sin x, tg x²~ x² и

(используя 1-ый замечательный предел ).

г) При х→∞ основание стремится к 1, а показатель степени (2х – 1)→∞. Следовательно, имеем неопределенность вида 1^∞. Для ее раскрытия будем использовать II замечательный предел

Представим основание в виде суммы: единицы и некоторой бесконечно малой величины:

.

Тогда

.

Положим х – 2 = 3у; при х → ∞ переменная у → ∞. Выразим показатель степени через новую переменную у. Так как х = 3у + 2, то 2х -1 = 2(3у + 2) – 1 = 6у + 3. Таким образом,

Пример 4. Дана функция у =16^1/(2+х). Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента х₁=-2, х₂=0;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва справа и слева;

3) сделать схематический чертеж.

Решение.

Если ищется предел функции у=f(х) при условии, что аргумент х, стремясь к своему предельному значению а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним (левым) пределом данной функции в точке х = а и условно обозначается так:

Если ищется предел функции у=f(х) при условии, что аргумент х, стремясь к своему предельному значению а, может принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел если он существует, называется правосторонним (правым) пределом данной функции в точке х = а и условно обозначается так:

Функция у = f(х) непрерывна в точке х = а, если выполнимы следующие условия:

1) функция у = f(х) определена не только в точке а, но и в некотором интервале, содержащем эту точку;

2) функция у = f(х) имеет при х→а конечные и равные между собой односторонние пределы;

3) односторонние пределы при х → а совпадают со значением функции в точке а, т.е.

Если для данной функция у = f(х) в данной точке х = а хотя бы одно из перечисленных условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х = а.

Разрыв функция у = f(х) в точке х = а называется разрывом первого рода, если существуют конечные односторонние пределы причем не все три числа f(a), f(a-0) и f(a+0) равны между собой.

Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует, то разрыв в точке х = а называется разрывом второго рода.

При х = -2, данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при х = -2 слева и справа:

а

и

Таким образом, данная функция при х = -2 имеет разрыв второго рода. При х = 0 функция непрерывна, т.к. выполняются все три условные непрерывности функции.

Данная функция является показательной. Прямая х = -2 – вертикальная асимптота графика функции. Множество значений функции – множество всех положительных чисел. у = 1 – горизонтальная асимптота, т.к.

Чтобы построить функцию , составим следующую таблицу:

х	-10	-6	-4	-3	-1
у

График функции показан на рис. 3.

Рис. 3.

Пример 5. Задана функция y = f (х) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х:

Найти: 1) точки разрыва функции, если они существуют;

2)предел функции у при приближении аргумента х к точке разрыва слева и справа;

3)найти скачок функции в точке разрыва.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна в интервалах (-∞; 0), (0; π) и (π; + ∞). При х = 0 и х = π меняется аналитическое выражение функции и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке х = 0;

Так как односторонние пределы функции у в точке х = 0 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями. Следовательно, в точке х = 0 скачок функции Δ=|1 - 0|=1.

Определим односторонние пределы в точке х = π:

Односторонние пределы совпадают и функция в этой точке непрерывна.

График функции показан на рис. 4.

Рис. 4.