Контрольная работа №1

1 - 10. Даны векторы а (а₁; а₂; а₃), b (b₁; b₂; b₃), с (с₁; с₂; с₃) и d (d₁; d₂; d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

1. а (1;2;3), b (-1;3;2), с (7;-3;5), d (6;10;17).

2. а (4;7;8), b (9;1;3), с (2;-4;1), d (1;-13;-13).

3. а (8;2;3), b (4;6;10), с (3;-2;1), d (7;4;11).

4. а (10;3;1), b (1;4;2), с (3;9;2), d (19;30;7).

5. а (2;4;1), b (1;3;6), с (5;3;1), d (24;20;6).

6. а (1;7;3), b (3;4;2), с (4;8;5), d (7;32;14).

7. а (1;-2;3), b (4;7;2), с (6;4;2), d (14;18;6).

8. а (1;4;3), b (6;8;5), с (3;1;4), d (21;18;33).

9. а (2;7;3), b (3;1;8), c (2;-7;4), d (16;14;27).

10. а (7;2;1), b (4;3;5), с (3;4;-2), d (2;-5;-13).

11 - 20. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребром А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

11. А₁ (4;2;5), А₂ (0;7;2), А₃ (0;2;7), А₄ (1;5;0).

12. А₁ (4;4;10), А₂ (4;10;2), А₃ (2;8;4), А₄ (9;6;4).

13. А₁ (4;6;5), А₂ (6;9;4), А₃ (2;10;10), А₄ (7;5;9).

14. А₁ (3;5;4), А₂ (8;7;4), А₃ (5;10;4), А₄ (4;7;8).

15. А₁ (10;6;6), А₂ (-2;8;2), А₃ (6;8;9), А₄ (7;10;3).

16. А₁ (1;8;2), А₂ (5;2;6), А₃ (5;7;4), А₄ (4;10;9).

17. А₁ (6;6;5), А₂ (4;9;5), А₃ (4;6;11), А₄ (6;9;3).

18. А₁ (7;2;2), А₂ (5;7;7), А₃ (5;3;1), А₄ (2;3;7).

19. А₁ (8;6;4), А₂ (10;5;5), А₃ (5;6;8), А₄ (8;10;7).

20. А₁ (7;7;3), А₂ (6;5;8), А₃ (3;5;8), А₄ (8;4;1).

21. Уравнение одной из сторон квадрата х + 3у – 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-1;0) – точка пересечения его диагоналей.

22. Даны уравнения одной из сторон ромба х - 3у + 10 = 0 и одной из его диагоналей х + 4у – 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке (0, 1). Найти уравнения остальных сторон ромба.

23. Уравнения двух сторон параллелограмма х + 2у + 2 = 0 и х + у = 0, а уравнение одной из его диагоналей х – 2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма.

24. Даны две вершины А(-3;3) и В(5;-1) и точка D(4;3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

25. Даны вершины А(-3;-2), В(4;-1), С(1;3) трапеции АВСD (AD ВС). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции.

26. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х - 4у + 15 = 0 и 4х + у – 9 = 0. Его медианы пересекаются в точке (0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника.

27. Даны две вершины А(2;-2) и В(3;-1) и точка Р(1;0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.

28. Даны уравнения двух высот треугольника х + у = 4 и у = 2х и одна из его вершин А(0;2). Составить уравнения сторон треугольника.

29. Даны уравнения двух медиан треугольника х - 2у + 1 = 0 и у – 1 = 0 и одна из его вершин (1;3). Составить уравнения его сторон.

30. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5х - 2у – 8 = 0 и 3х - 2у – 8 = 0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны.

31. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки А(5;0) относятся как 2:1.

32. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(-1;0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х = - 4.

33. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 5х + 8 = 0 относятся как 5: 4.

34. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4;0), чем от точки В(1;0).

35. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 2х + 5 = 0 относятся как 4: 5.

36. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(3;0) вдвое меньше расстояния от точки В(26;0).

37. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0;2) и от прямой у – 4 = 0.

38. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности х² + у² = 4х.

39. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(2;6) и о прямой у + 2 = 0.

40. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А(-4;0) втрое дальше, чем от начала координат.

41 – 50. Линия задана уравнением r = r(φ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ = 0 до φ = 2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой ситеме координат, у которой начало координат совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

41.

43.

45.

47.

49.

42.

44.

46.

48.

50.

51 - 60. Дана система линейных уравнений:

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61 - 80. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.