Пример 7. Рассмотрим предельное состояние балки с двумя шар­нирно опертыми концами, от действия силы P, приложен­ной в середине пролета

Рассмотрим предельное состояние балки с двумя шар­нирно опертыми концами, от действия силы P, приложен­ной в середине пролета. В статически определимой бал­ке (рис.20.10), как известно, нормальные напряжения в поперечных сечениях в упру­гой стадии, изменяются по высоте сечения по линейному закону и пропорциональны величине изгибающего мо­мента.

В опасном сечении при достижении напряжений в крайних волокнах величины , заканчивается упругий стадия работы и величина изгибающего мо­мента по теории допускаемых напряжений будет определяться сле­дующими известными соотношениями:

, (20.28)

откуда допускаемое значение внешней силы вычисляется по:

, (20.29)

где W - момент сопротивления поперечного сечения балки. Для прямоугольного сечения где b, h - размеры поперечного сечения (рис.20.10, б).

Рис. 20.10

Таким образом, при расчете балки (рис.20.10, а) по теории до­пускаемых напряжений, допускаемое значение внешней силы, оп­ределяется по:

. (20.30)

Однако, очевидно, что при , вычисленной по формуле (20.30), заданная балка далеко не исчерпала свою несущую способ­ность. При увеличении нагрузки, пластические деформации прони­кают вглубь сечения, вплоть до появления в нем пластического шарнира, т.е. состояния сечения, при котором все ее точки пере­шли в пластическое состояние. В пластическом шарнире момент достигает предельной величины, когда эпюра нормальных напря­жений во всех точках в опасном сечении принимает значение (рис.20.10, б).

Согласно диаграмме дефор­мирования материала по Пран­дтлю, продольные волокна бал­ки в этом сечении испытывают беспредельно возрастающие де­формации. В этих условиях можно говорить о формирова­нии пластического шарнира в сечении, который превращает данную балку в механизм (рис.20.11). Это означает, что с возникновением пластического шарнира про­исходит полное исчерпание несущей способности балки, т.е. задан­ная система разрушается. Величину силы, вызывающую образова­ние в балке пластического шарнира, называют предельной си­лой метода предельного состояния.

Рис. 20.11

Значение предельной силы определяется из условия равенства моментов внутренних и внешних сил для опасного срединного се­чения балки:

; , (20.31)

откуда получим:

. (20.32)

Величина называется пластическим моментом сопро­тивления.

Если сравнить величину предельной силы, определенной по методу допускаемых напряжений и по методу предельного равно­весия, то получим, что .

Из приведенного примера следует, что для расчета изгибаемых элементов по методу предельного состояния, необходимо предвари­тельно определить пластический момент сопротивления в сечениях пластических шарниров.

В таблице 20.1 приведены значения отношения для неко­торых стандартных форм сечений.

Таблица 20.1

Форма сечения
	1,16	1,27	1,50	1,70	2,00