Ошибка! Ошибка связи

Анализатор Штерна–Герлаха

Противоречие с теорией устранили в 1925 г. Дж. Уленбек и С. Гаудсмит, введя спин электрона и связанный с ним магнитный момент. По углу θ были вычислены проекции магнитного момента электрона

. (7.3)

Опыт Штерна–Герлаха дает два спиновых состояния электрона. Исходя из аналогии спина s с орбитальным моментом l, получаем , тогда спиновые квантовые числа s и , спиновый момент и его проекция равны

, , , . (7.4)

Спиновый магнитный момент электрона (7.3) выражается через спин

, . (7.5)

Знак «–» связан с отрицательным зарядом электрона. Полный магнитный момент электрона складывается из орбитального (7.1) и спинового (7.5) моментов

. (7.6)

Операторы спина вводятся по аналогии с операторами момента импульса

, , , , ,

и удовлетворяют соотношениям, аналогичным (4.5):

, ,

, . (7.7)

Поскольку спин не выражается через координату и импульс, то коммутирует с и . Уравнения для собственных функций операторов спина аналогичны (4.14)–(4.15)

,

. (7.8)

Матрицы Паули. В набор квантовых чисел электрона в атоме кроме n, l, m входит спиновое число , тогда функция состояния

.

Поскольку двузначная величина, то считаем двухэлементной матрицей – спинором, тогда операторы спина получают матричную форму

, , , . (7.9)

Матрицы Паули

, , , (7.10)

удовлетворяют соотношениям

, , ,

, , ,

, , ; ,

, , , (7.11)

что обеспечивает выполнение (7.7). Из (7.9) – (7.11) получаем

, ,

, .

Эрмитово сопряжение матрицы включает комплексное сопряжение * и транспонирование T ее элементов

. (7.12)

Используя (7.9) и (7.10) получаем, что операторы спина и матрицы Паули эрмитовые, например

.

Нормировка и ортогональность спиноров и имеют вид

, (7.13)

. (7.14)

Среднее значение проекции k спина по нормированному состоянию y определяется в виде

. (7.15)

Собственные функции оператора удовлетворяют уравнению

.

Решение ищем в виде . Подстановка в уравнение дает

, .

Сравнивая элементы матриц, получаем систему алгебраических уравнений

, .

Если , то и ; если , то и . Из условия нормировки (7.13) с точностью до фазового множителя получаем для оператора собственные функции

, ; , ;

, , (7.16)

взаимно ортогональные и образующие полный ортонормированный базис. Произвольное спиновое состояние разлагается по базису

, , . (7.17)

Вероятности обнаружения проекций спина равны

, . (7.18)

Свободный электрон со спином, направленным по оси z, с энергией Е и импульсом р описывается спинором

. (7.19)