Вариационный метод

Если условие применимости теории возмущений не выполняется, то по заданному гамильтониану можно приближенно получить состояние системы в аналитической форме вариационным методом, который разработал В. Ритц в 1908 г. Метод основан на функционале энергии в виде среднего от гамильтониана по состоянию системы, содержащему искомый параметр. Минимум функционала при вариации параметра дает функцию состояния и энергию. Метод не позволяет оценить погрешность результата.

Функционал энергии. Пусть стационарная система находится в состоянии y с условием нормировки . Вводим функционал энергии в виде среднего от гамильтониана

. (6.48)

Основное состояние. Функцию y разлагаем по базису собственных функций гамильтониана, удовлетворяющих

, .

С учетом нормировки получаем

, .

Средняя энергия в состоянии y

не может быть меньше энергии основного состояния Е ₀

. (6.49)

В пространстве нормированных функций y абсолютный минимум функционала энергии равен энергии основного состояния Е ₀. Функция , обеспечивающая этот минимум, является волновой функцией основного состояния.

Возбужденное состояние. Возбужденное состояние y ортогонально j₀, тогда . Рассуждение, аналогичное предыдущему, дает энергию состояния y

.

В подпространстве нормированных функций y, ортогональных j₀, абсолютный минимум функционала энергии равен энергии первого возбужденного состояния Е ₁. Функция , обеспечивающая минимум, является функцией этого состояния. Аналогичные рассуждения дают энергии и волновые функции вышерасположенных уровней.

Вариационный метод Ритца для стационарной одномерной системы использует волновую функцию с параметрами a и А. Условие нормировки дает . Экстремум функционала энергии (6.48)

(6.50)

дает величину a.

Алгоритм применения метода:

1. Выбираем пробную квадратично интегрируемую функцию основного состояния с параметрами α и A, исходя из граничных условий и особенностей поведения системы.

2. Нормировка за счет параметра А дает .

3. Используя гамильтониан системы, вычисляем функционал (6.48).

4. Из условия экстремума (6.50) определяем a₀. Находим , ограничивающую сверху энергию основного состояния, а также волновую функцию основного состояния

.

5. Для первого возбужденного состояния выбираем пробную функцию с параметрами β и B, удовлетворяющую условиям ортогональности и нормировки:

, ,

и находим .

6. Вычисляем функционал энергии с искомой функцией

.

Из условия экстремума

(6.51)

получаем b₁. Находим , ограничивающую сверху энергию первого возбужденного состояния, и соответствующую волновую функцию . Аналогично определяются остальные состояния.

ПРИМЕР

10.1. Вариационным методом найти энергии и волновые функции двух первых состояний линейного гармонического осциллятора.

Волновая функция основного состояния не имеет узлов и при обращается в нуль, поэтому выбираем . Условие нормировки дает . Из (6.48) с учетом , получаем

= =

.

Из (6.50)

находим . Энергия основного состояния является точным результатом. Для волновой функции основного состояния получаем

,

что совпадает с точным выражением (3.32а).

Для первого возбужденного состояния пробная функция y ортогональна y₀. Поскольку y₀ – четная функция, то нечетная функция удовлетворяет . Нормировка дает . Из (6.48) находим

.

Условие (6.51) дает , тогда энергия первого возбужденного состояния , что является точным результатом. Аналогично получаем

.