Уравнение Шредингера в цилиндрических координатах

Гамильтониан системы с осью симметрии Oz

, (5.15)

где:

– энергия радиального движения в плоскости (x,y);

– энергия вращения в плоскости (x,y), , – момент инерции;

– энергия движения по оси z, – оператор проекции импульса.

Если не зависит от z, то

, , .

Проекция момента импульса на ось z и импульс вдоль этой оси сохраняются с течением времени и имеют определенные значения вместе с энергией. Состояние характеризуется собственными значениями операторов , или числами , и m:

.

Стационарное уравнение Шредингера получает вид

. (5.16)

Переменные r, z и j разделяются. С учетом

,

ищем решение в виде

. (5.17)

Подставляем (5.17) в (5.16) и получаем радиальное уравнение

, (5.18)

где , поскольку уравнение содержит m ².

Замена (5.4)

с учетом устраняет первую производную и дает уравнение

(5.19)

с условие (5.14) . Эффективная потенциальная энергия

.

Ортонормированность функций дискретного спектра имеет вид (5.6)

. (5.20)

Для уравнения (5.19) и решения применимы краевые условия из раздела 3.2.

Date: 2015-05-19; view: 2253; Нарушение авторских прав