Линейный гармонический осциллятор. Гармонический осциллятор колеблется по гармоническому закону и имеет эквидистантный спектр энергии

Гармонический осциллятор колеблется по гармоническому закону и имеет эквидистантный спектр энергии. Состоянию n сопоставляется n квантов с одинаковой энергией. Методы описания осциллятора используются для квантования электромагнитного поля в резонаторе и в свободном пространстве.

Осциллятор в классической теории. Используются потенциальная энергия и возвращающая сила

, .

Второй закон Ньютона дает уравнение и решение

, ,

,

тогда

. (3.23)

При максимальном отклонении , и из (3.23) находим

. (3.24)

Осциллятор в квантовой теории. Уравнение Шредингера (3.1)

(3.26)

для безразмерного аргумента

, , (3.27)

дает

, (3.29)

. (3.30)

При решение

,

где – полином Эрмита. При s не целом и условие нормировки не существует.

Условие ортонормированности

(3.31)

упрощается при

,

тогда

. (3.32)

Учитывая , , из (3.32) находим

,

. (3.32а)

Ортонормированность и рекуррентные соотношения:

, , (3.33)

,

,

, (3.34)

. (3.35)