Квантование Бора–Зоммерфельда

Условие максимума интерференции из (1.3) и (1.13)

обеспечивает наибольшую амплитуду волны и наибольшую вероятность обнаружения частицы.

Обобщение на случай замкнутой траектории, когда импульс изменяется вдоль траектории с элементом , дает квантование Бора–Зоммерфельда

. (1.17)

– квантовое число, номер траектории, показывает сколько раз длина волны де Бройля укладывается на траектории;

– объем фазового пространства одномерного движения, занятого n состояниями. Следовательно, квантовое состояние одномерного движения занимает в фазовом пространстве объем, равный постоянной Планка h.

Формула (1.17) применимав квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны гораздо меньше характерного размера траектории r. Учет (1.13) и (1.17) дает

, , . (1.18)

Если частица движется по окружности радиусом c импульсом , то из (1.17) получаем

.

Проекция орбитального момента квантуется

, (1.19)

где ось z перпендикулярна плоскости траектории; – магнитное квантовое число.

Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории.