Основные постулаты квантовой теории

1) Среднее значение любой физической величины Q находится по формуле: , где - оператор физической величины Q.

2) Операторы величин x и : (это видно из сопоставления 1) с формулами для <x> и <p_x>. Для , , , аналогично.

· Операторы и - основные в квантовой теории.

3) Общее правило операторов других физических величин: формулы классической физики, связывающие величины, следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.

Пример 1: p² = + +

= + + = (-iħ )² + (-iħ )² + (-iħ )² = - ħ²( + + ) = - ħ² , где

- оператор Лапласа.

Пример 2: K = = = =

Для потенциальных полей: U = x оператор потенциальной энергии: = =

Пример 3: E = K + U = = + , где

- оператор полной энергии.

Пример 4: = = –момент импульса в классической механике.

Тогда проекция момента импульса на ось z:

M_z = x p_y – y p_x = x -y =x (-iħ ) – y(-iħ ) = -iħ(x –y )

4)Доказано, что в сферической системе координат

5)Среднее значение полной энергии

· Это следует из <E> = = +

· <E> = <K> + <U>не эквивалентно E = K + U, т.к. в силу соотношения неопределенностей K и U не могут одновременно иметь определенные значения (K p, U x), при этом связь между средними значениями сохраняется.

Перед тем как сформулировать следующий постулат дадим некоторые определения:

Собственное состояние – состояние, в котором величина Q имеет

собственное (определенное) значение.

Собственные значения величины Q – значения, при которых существуют собственные функции оператора .

Собственные функции оператора – ψ – функции, которые являются решениями

уравнения и удовлетворят естественным условиям

6)Собственное состояние величины Q описывается собственной ψ – функцией, которая

является решением уравнения , где – оператор величины Q.

Проверка: <Q> = т.к. в данном состоянии Q = const и = 1

· Собственные значения Q, полученные математически, обнаруживаются и измеряются экспериментально.

· Уравнение есть обобщение правила квантования энергии на случай любых физических величин. Для :

= ( + U) = E или + (E – U) = 0 – уравнение Шредингера для стационарных состояний.