Колебания в молекуле

К гармоническому осциллятору сводится задача о колебаниях атомов в молекуле. График зависимости потенциальной энергии взаимодействия атомов в молекуле NaCl от расстояния между ними имеет вид:

Из вида следует, что атомы могут совершать равновесные колебания относительно и у молекулы должны существовать дискретные уровни энергии , где ; - приведенная масса. Нижняя часть - парабола и при малых колебаниях молекула ведет себя как идеальный гармонический осциллятор: уровни энергии эквидистантны, переходы подчиняются правилу отбора и спектр состоит из одной частоты .

С увеличением амплитуды колебаний гармоничность нарушается, уровни сгущаются и при вычислении E надо вводить поправку.

Рассмотрим потенциальный барьер

U(x) = 0 при x< 0

U(x) = U₀ при x ≥ 0. Пусть на границу барьера слева налетает частица, т.е. «падает» дебройлев-ская волна ψ(x;t) = ae^i(kx-ωt)

Доказано, что в этом случае существуют три волны: падающая, отраженная, проходящая. Все они имеют ω = , поэтому в расчет можно принимать только координатную часть функции (x;t), т.е. ψ(х). Тогда уравнение Шредингера принимает вид: + k²ψ = 0, где k² = (E- U₀).

Случай 1: E>U₀.Тогда общее решение уравнения + k²ψ = 0 будет:

Ψ₁(х 0) = a₁exp(ik₁x)+b₁exp(-ik₁x), гдеk₁ = (область 1)

Ψ₂(х 0) = a₂exp(ik₂x)+b₂exp(-ik₂x), гдеk₂= (область 2)

При этом полагают, что а₁ – амплитуда падающей волны, b₁ – отраженной,

а₂-проходящей, b₂=0, т.к. в области 2 других волн нет.

Коэффициент отражения R = ()² = ( ² .

Коэффициент прохождения D = ()² = При этом R + D = 1.

• В классической физике при Е>U₀ R = 0.

Случай 2: E<U₀. Расчеты дают R = 1, k₂ = , где k=const> 0.

Тогда Ψ₂ = а₂ = a₂e^-kx и плотность вероятности 𝓅(x) = = e^-2kx = 𝓅(o) , т.е. несмотря на то, что R=1 (полное отражение) ψ – функция проникает сквозь барьер и в области 2 экспоненциально убывает.

Глубина проникновения (𝑙) – расстояние, на котором

плотность вероятности 𝓅(x) убывает в е раз.

Тогда = e = 2kl = 1 и 𝑙 = или 𝑙 = , т.е. чем выше потенциальный барьер U₀, тем меньше глубина проникновения.

· В классической физике проникновение частицы под барьер запрещено (иначе при E<U₀ кинетическая энергия K< 0, что невозможно). В квантовой физике соотношение E = K + U в силу принципа неопределенности теряет смысл, что делает такое проникновение возможным.