A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней

Пусть у нас два близких уровня, а остальные уровни хорошо удовлетворяют критерию (5).

Пусть близкие уровни - это уровни i=1,2. Близость уровней определяется из критерия (5).

Модификация теории возмущений состоит в том, чтобы в качестве нулевого приближения для 1 и 2 состояния подобрать такие функции и , которые обращали бы в ноль - числитель критерия (5).

По определению:

Мы рассмотрим набор

Очевидно, что

Распишем:

Рассмотрим свойства невозмущенной функции:

Они удовлетворяют ЗШЛ:

где - невозмущенный оператор.

(6)

Эта матрица имеет диагональный вид, т. к. мы рассматриваем матричные элементы на собственных функциях этого оператора.

Мы ввели и для того, чтобы ввести такой матричный элемент, чтобы он

тогда (5) будет для и давать 0 и теория возмущений будет работать.

Таким образом, мы ввели новый возмущенный базис и . В этом новом базисе мы должны диаганализовать

Искомое преобразование является унитарным, так как оно не нарушает условия нормировки. Надо подобрать коэффициенты

Используем

Но

или в матричном виде

Из свойства ортонормированности найдем свойства коэффициентов

т.е.

Это унитарное преобразование, оно сохраняет нормировку.

Запишем ЗШЛ для модифицированных функций.

тогда подставим явно и

Рассмотрим случай i=1, умножим левую и правую части этого уравнения скалярно на и , тогда имеем:

Введем обозначения:

Перепишем эти уравнения в виде

(7)

Система линейных однородных уравнений. Она имеет нетривиальное решение только при det=0.

Обозначим

Имеем решение

При i=2, то по аналогии

и обозначив

получаем

Во втором случае решение аналогично первому. Однако мы приписываем одному знак +, а другому -.

Имеем тогда уровни энергии:

Перейдем к системе (7). Из нее имеем

Кроме этого используем соотношение

т.е. имеем нормировку

Рассмотрим i=j=1 (и аналогично i=j=2)

Введем обозначение:

где α и β – вспомогательные углы, определяемые через матричные элементы H ₁₂, H ₁₁ и H ₂₂.

Тогда коэффициенты b имеем в виде

Таким образом, при теория возмущений срабатывает для двух близких уровней. Теперь в качестве нулевого приближения берут:

Модификация касалась только этих дух близких состояний. Остальные состояния не модифицировались, т.к. они сразу удовлетворяли критерию.

Теперь и – теория возмущения работает.

Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".

1. Экспериментальные основы квантовой механики.
2. Классическое и квантовое описание системы.
3. Принцип неопределенности.
4. Полный набор динамических переменных.
5. Постулаты квантовой механики.
6. Роль классической механики в квантовой механике.
7. Волновая функция и ее свойства.
8. Принцип суперпозиции состояний.
9. Понятие о теории представлений.
10. Операторы в квантовой механике.
11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра.
12. Среднее значение измеряемой величины.
13. Вероятность результатов измерения.
14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин. (1/2*)
15. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *).
19. Волновое уравнение
20. Производная оператора по времени
21. Интегралы движения в кв. механике.
22. Флуктуации физических величин. (1/2*)
23. Неравенство Гайзенберга. (1/2*)
24. Оператор Гамильтона различных систем.
25. Стационарное состояние различных систем
26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы.
28. Собственный механический момент (спин).
29. * Операторы и и их свойства.
30. Спиновая переменная волновой функции
31. Матрицы Паули (и их свойства *).
32. Принцип тождественности.
33. Стационарная теория возмущений (нулевое и первое приближения).