Решение. Будем считать, что в.ф. для данной системы уже получены (см. §27)

Согласно определению: (22.1)

Поэтому остается рассчитать

а) В случае числа находится вычислениями

Подставляя полученные значения в (22.1), получаем

б)Для оператора

Среднее значение будет равно

Подставим в (22.1) и получим

§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*)

Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы – это принцип неопределенности.

Под канонически сопряженными понимаем величины и .

В квантовой механике для операторов и , которые поставлены в соответствие канонически сопряженным величинам имеем

.

Более того , а сам коммутатор имеет вид оператора .

Это можно записать в виде .

Если , то , тогда , где .

(*) Вывод:

, т.к. и есть числа.

Обозначим . Здесь - единичный оператор.

Тогда из получим (*)

Введем обозначение

Подставим это в неравенство Коши-Шварца, тогда

Используем эрмитовость операторов

,

,

тогда

.

Поделим левую и правую части на , тогда

Используем определение среднего

,

тогда

.

Или

Операторы и не коммутируют, тогда

.

Первое слагаемое обозначим , .

Второе слагаемое .

Оператор дает чисто вещественное число, а дает чисто мнимое число.

Тогда

,

где .

.

Окончательно

.

В полученном неравенстве математически заложен принцип неопределенности Гайзенберга.

Если величина измерена точно, то ,т.е. .

Если , то величина A измерена точно и , но тогда для , т. к. . Из этого следует, что канонически сопряженная величина B не измерима.

Когда измеряем величину , то получаем спектр значений , которые выходят с вероятностью . Для того чтобы необходимо чтобы система находилась в состоянии .