Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора

Если в классической механике рассматривать , то

.

Если полученному выражению поставить в соответствие оператор в квантовой механике, то он может быть записан в виде:

,

где - угол поворота вокруг оси .

Рассмотрим задачу на собственные функции и собственные значения для оператора :

,

Мы накладываем на функцию условие периодичности, т. к. угол меняется от до , т. е.:

Используя данное ограничение можно записать:

,

где N и M целые числа, значит тоже должно быть целым:

,

где - целое безразмерное число. Из условия периодичности получили квантованность проекции орбитального момента на ось z. Спектр собственных значений оператора дискретный. Так как целое число, то функция приобретает индекс:

Найдем константу . Запишем условие нормировки :

При интеграл дает . В результате получаем выражение для :

Тогда имеем для уравнения собственную волновую функцию

Таким образом, спектр собственных значений оператора дискретный, а собственные функции нормируемые.