Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента
Основная задача квантовой теории момента заключается в определении общих собственных векторов и собственных значений проекции и квадрата момента. Из одновременной измеримости и следует, что соответствующие операторы этих величин имеют общую систему собственных функций : (20.1) (20.2) Рассмотрим некоторые свойства оператора момента количества движения. Свойство 1: При фиксированном значении квадрата момента количества движения проекция момента принимает значения из интервала: (20.3) Доказательство: Для доказательства этого свойства воспользуемся определением: . Подействуем оператором квадрата момента на вектор состояния : Умножая последнее выражение на и интегрируя по всей области изменения переменных получим: Тогда, учитывая, что средние значения не отрицательны, приходим к выводу: т.е. максимальная проекция момента не превосходит длины вектора момента количества движения: что и требовалось доказать. Свойство 2: Если - собственный вектор оператора квадрата момента с собственным значением , то и также собственные вектора оператора квадрата момента с тем же собственным значением ,т.е. , (20.4) (20.5) Доказательство: Подействуем оператором на вектор состояния и воспользуемся свойством (19.4): , Аналогично проводится доказательство для вектора . Таким образом, из коммутируемости операторов проекций и с оператором квадрата момента импульса следует, что их действие на вектор состояния не меняет . Вместо операторов удобно перейти к их комплексным комбинациям: (20.6) (20.7) Выразим имеющиеся соотношения через введенные комплексные операторы. Для этого найдем коммутатор : Для дальнейших вычислений воспользуемся свойством коммутатора: Тогда: (20.8) Можно показать, что (20.9) Аналогично проводятся вычисления для : (20.10) . (20.11) (20.12) Откуда, учитывая определение квадрата момента следует, что (20.13) или (20.14) Для решения задачи о нахождении спектра собственных значений операторов и рассмотрим несколько вспомогательных теорем. Лемма 1: Если - собственный вектор оператора с собственным значением , то вектор тоже собственный вектор оператора с собственным значением , т.е. Доказательство: Подействуем оператором на вектор . С учетом равенств (20.9) и (20.1) получаем: Что и требовалось доказать. Лемма 2: Если - собственный вектор оператора с собственным значением , то тоже есть собственный вектор с собственным значением , т.е. Доказательство проводится аналогично с учетом формул (20.11) и (20.1). Из рассмотренных вспомогательных лемм в дальнейшем нам понадобятся два следствия: 1) (20.15) 2) (20.16) где - некоторые постоянные. Данные леммы и их следствия дают ответ на вопрос о спектре собственных значений проекции момента, если нам известно хотя бы одно значение. Согласно леммам 1 и 2 собственные значения проекции момента количества движения , которым принадлежат собственные функции , отличаются на единицу и находятся, согласно доказанной теореме, в интервале . Таким образом, при фиксированном значении значения m ограничены сверху и снизу. Пусть и соответственно наименьшее и наибольшее значения при заданном , т.е. . Тогда (20.17) (20.18) С учетом равенств (20.17), (20.14) и (20.18), (20.1) можно записать Откуда Так как по условию , то , откуда (20.19) Определим значения постоянных и в выражениях (20.15), (20.16). Для этого применим условие нормировки . С другой стороны, Сравнивая полученные выражения, делаем вывод, что , (20.20) . (20.21) Согласно (20.15), (20.16), (20.20), (20.21): (20.22) (20.23)
Date: 2015-05-18; view: 486; Нарушение авторских прав |