Задача № 47

В некоторый момент времени координатная часть волновой функции частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками , имеет вид . Найдите среднюю кинетическую энергию частицы в этом состоянии, если масса частицы равна .

Решение:

Из постулатов квантовой механики следует, что среднее значение некоторой физической величины в квантовом состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:

(1)

где - определитель физической величины , а - функция, сопряжённая к пси-функции . Операторы проекций импульса на координатные оси x,y,z имеют вид:

(2)

Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:

(3)

Операторы квадрата импульса и кинетической энергии связаны выражением:

(4)

где - масса частицы. В нашем одномерном случае оператор кинетической энергии имеет вид:

(5)

Определим постоянную в выражении для пси-функции, описывающей состояние частицы, используя условие нормировки:

(6)

Тогда пси-функция состояния частицы имеет вид:

(7)

Подставляя в выражение (1) оператор кинетической энергии и данную пси-функцию, найдём среднее значение кинетической энергии частицы:

(8)

Ответ:

.