Задача № 49

В некоторый момент времени координатная часть волновой функции частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками , имеет вид . Найдите вероятность пребывания частицы в основном состоянии.

Решение:

Вид потенциальной ямы, в которой находится частица, представлен на рисунке 1:

Рисунок 1

Найдём пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме. Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

или в виде:

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Воспользуемся естественными условиями, накладываемыми на пси-функцию. В области потенциальная энергия равняется бесконечности, поэтому частица находится в области не может. Следовательно, плотность вероятности нахождения частицы, а, значит, и пси-функция частицы в области равны нулю. Из условия непрерывности пси-функций для точки , получим:

Аналогично, применив условие непрерывности пси-функций, для точки получим:

Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:

(4)

Учитывая, что , получим:

(5)

Мы получили энергетический спектр частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Определим постоянную в выражении для пси-функций собственных состояний частицы (4), используя условие нормировки:

(6)

Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:

(7)

По условию частица в некоторый момент времени находится в состоянии, описываемом пси-функцией:

(8)

Используя условие нормировки, определим постоянную в выражении (8):

(9)

Тогда пси-функция (8) имеет вид:

(10)

Разложим пси-функцию (10) в ряд по пси-функциям собственных состояний (7):

(11)

где - коэффициенты, которые определяются следующим образом:

(12)

где - функция, сопряжённая к собственной пси-функции , - пси-функция, описывающая состояние частицы. Найдём несколько первых коэффициентов разложения:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Значит, разложение пси-функции (10) в ряд по собственным пси-функциям (7) имеет вид:

(18)

Если в собственных состояниях некоторая физическая величина имеет определённые собственные значения, то в состоянии описываемом пси-функцией , которая не является пси-функцией собственного состояния, физическая величина определённого значения иметь не будет. Если пси-функцию разложить в ряд по пси-функциям собственных состояний, то вероятность того, что значение физической величины будет равно - собственному значению в состоянии, описываемом пси-функцией , определяет квадрат модуля первого коэффициента в разложении . Аналогично, вероятность того, что значение физической величины примет значение , определяет , и так далее. Следовательно, вероятность нахождения частицы в основном состоянии в нашем случае определяет квадрат модуля первого коэффициента в разложении (18), значит:

(19)

Ответ:

.