Задача № 48

В некоторый момент времени частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеет вид , где и - некоторые постоянные, а - заданный параметр, имеющий размерность обратной длины. Найдите для данного состояния средние значения координаты и проекции импульса частицы .

Решение:

Из постулатов квантовой механики следует, что среднее значение некоторой физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:

(1)

где - оператор физической величины , а - функция, сопряжённая к пси-функции . Операторы физических величин, средние значения которых необходимо определить, имеют вид:

(2)

Определим постоянную в выражении для пси-функции, описывающей состояние частицы, используя условие нормировки:

(3)

Тогда пси-функция, описывающая состояние частицы, имеет вид:

(4)

Сопряженная к пси-функции (4) функция имеет следующий вид:

(5)

Подставляя в выражение (1) операторы физических величин, средние значения которых необходимо найти, и пси-функцию, описывающую состояние частицы, получим:

(6)

Ответ:

.