Задача № 50

Найдите средние значения кинетической и потенциальной энергий квантового осциллятора с частотой в основном состоянии, описываемом волновой функцией , где - некоторая постоянная, а - масса осциллятора.

Решение:

Из постулатов квантовой механики следует, что среднее значение некоторой физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:

(1)

где - оператор физической величины , а - функция, сопряжённая к пси-функции . А среднее значение некоторой функции координат определяется так:

(2)

Найдём оператор кинетической энергии. Операторы проекций импульса на координатные оси x,y,z имеют вид:

(3)

Формулы, связывающие физические величины в классической физике, в квантовой физике справедливы для операторов этих физических величин. Поэтому мы можем записать:

(4)

Операторы квадрата импульса и кинетической энергии связаны выражением:

(5)

где - масса частицы. В нашем одномерном случае оператор кинетической энергии имеет вид:

(6)

Пси-функция, описывающая состояние квантового осциллятора, имеет вид:

(7)

Из условия нормировки определим постоянную :

(8)

Тогда пси-функция (7) примет вид:

(9)

Найдём среднее значение кинетической энергии квантового осциллятора, подставив в выражение (1) оператор кинетической энергии (6) и пси-функцию (9):

(10)

Потенциальная энергия квантового осциллятора имеет вид:

(11)

Подставив в выражение (2) вид потенциальной энергии м пси-функцию (9), найдём среднее значение потенциальной энергии:

(12)

Ответ:

,

.